Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами
1. Короткі теоретичні відомості
Часто задачі техніки і природознавства математично зводяться до відшукання розвязку певного диференціального рівняння (або системи таких рівнянь), який задовольняє певні початкові умови (задачі Коші). Про інтегрувати таке рівняння в скінченому вигляді вдається досить рідко. при цьому дістають здебільшого такий вигляд, до якого шукана функція входить неявно, а тому користуватись ним не зручно.
На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розвязок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу (наприклад, ряду Тейлора), або у вигляді деякої таблиці значень.
Розглянемо окремі методи чисельного розвязування задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, розвязаного відносно похідної. Наближений розвязок задачі Коші записують у вигляді певної таблиці значень.
Задача Коші полягає в тому, щоб знайти розвязок y(x) диференціального рівняння
, (1.1)
який задовольняє початкову умову
(1.2)
Геометрично це означає, що треба знайти ту інтегральну криву y(x) рівняння (1.1), яка проходить через точку (x0,y0).
Задача Коші (1.1) - (1.2) має єдиний розвязок, наприклад при виконанні умови такої теореми.
Теорема (Пікара). Якщо функція f(x,y) двох змінних х і у неперервна в замкнутому прямокутнику
з центром у точці (х0,у0) і задовольняє в ньому умову Лівшиця по змінній у, тобто існує число K>0, яке не залежить від х і у, таке, що
(1.3)
для будь-яких точок (х1,у1) і (х2,у2) , то існує єдина диференційована функція , яка є розвязком диференціального рівняння (1.1). Цей розвязок визначений і неперервно диференційований принаймні на відрізку [x0-h; x0+h], де
(1.4)
Розглянемо так звані однокрокові чисельні методи розвязування задачі Коші (1.1)-(1.2), в яких, щоб знайти наближений розвязок у точці хk+1=xk+h, досить знайти її розвязок в точці хk.
І оскільки розвязок задачі в точці х0 відомий з початкових умов, то ці методи дають змогу послідовно обчислити значення розвязку в наступних точках х1=х0+h, x2=x1+h,...
Окремим представником однокрокових чисельних методів є методи типу Ейлера. Надалі припускатимемо, що функція f(x,y) рівняння (1.1) задовольняє умови теореми Пікара [1].
Метод Ейлера
Нехай на відрізку [x0,x0+l] треба знайти чисельний розвязок задачі Коші(1.1)-(1.2). Для цього відрізок [x0,x0+l] поділимо на n (для простоти) рівних частин точками
х0, х1, х2,..., хn=x0+l, де хk=x0+kh (k=0,1,2,...,n), .
Величину h називають кроком чисельного інтегрування диференціального рівняння (1.1).
Розвязати задачу (1.1)-(1.2) чисельно - це означає для заданої послідовності х0, х1,…, хn=b=x0+l незалежної змінної х та числа у0 знайти числову послідовність у1, у2,…, уn, тобто для заданої послідовності значень незалежної змінної xk=x0+kh (k=0, 1, ..., n) побудувати таблицю наближених значень шуканого розвязку задачі Коші.
Якщо наближений розвязок задачі (1.1)-(1.2) в точці хk відомий, то, проінтегрувавши рівняння (1.1) в межах від хk до хk+1, знайдемо його розвязок в точці хk+1 за формулою:
(1.5)
Саме ця формула є вихідною для побудови багатьох чисельних методів розвязування задачі (1.1) - (1.2). Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою лівих прямокутників, то знайдемо
(1.6)
Відкинувши в цій рівності доданок порядку О(h2), дістанемо розрахункову формулу:
(1.7)
яку називають формулою Ейлера. уk i y(xk) - відповідно наближене і точне значення шуканого розвязку задачі (1.1) і (1.2) у точці хk. Різницю уk-y(xk) називають похибкою наближеного значення уk у точці xk.
Оскільки дотична до графіка функція у(х) в точці (xk,yk) матиме вигляд:
або
Звідси для ординати точки уk+1 перетину цієї дотичної з прямою х=хk+1 дістанем формулу (1.7), а це означає, що на кожному з відрізків [xk,xk+1], (k=0, 1, 2, ..., n-1 ) інтегральна крива наближено замінюється відрізком дотичної до неї в точці (xk,yk). Якщо в площині Оху позначити точки Мk(xk;yk), k=0, 1, 2,...,n і сполучити їх по порядку відрізками, то дістанемо ламану (її називають ламаною Ейлера), яка наближено зображує графік шуканого розвязку задачі (1.1) - (1.2). У цьому і полягає геометричний зміст методу Ейлера (див. рис. 1)
Зазначимо, що похибка методу Ейлера на кожному кроці є величина порядку О(h2). Точність методу досить мала і переходом від точки xk до точки xk+1 її похибка систематично зростає.
Виправлений метод Ейлера.
Якщо інтеграл у правій частині формули (1.5) обчислити за формулою середніх прямокутників, тобто значення підінтегральної функції f(x,y(x)) обчислити в точці
, то знайдемо
(1.8)
Величину невідомого значення функції у() обчислимо за формулою (1.6) з кроком . Матимемо:
Підставивши це значення у() в (1.8), дістанемо
Відкинувши тут доданок пропорційний h3, матимемо
Розрахункові формули вдосконаленого методу Ейлера можна записати у вигляді
Отже, в удосконаленому методі Ейлера спочатку за метод Ейлера обчислюють наближений розвязок у задачі (1.1)-(1.2) в точці а потім наближений розвязок уk+1 у точці хk+1; на кожному кроці інтегрування праву частину рівняння (1.1) обчислюють двічі (у точках (хk,уk) і ()).
Геометрично це означає, що на відрізку [xk,xk+1] графік інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) замінюється відрізком прямої, яка проходить через точку (xk,yk) і має кутовий коефіцієнт k=. Іншими словами, ця пряма утворює з додатним напрямом осі Ох кут .
Що ж до точки (), то це точка перетину дотичної до інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) в точці (хk,yk) з прямою Похибка на кожному кроці має порядок О(h3).
Модифікований метод Ейлера.
Якщо інтеграл в правій частині формули (1.5)обчислити за формулою трапеції, то матимемо
(1.11)
Невідоме значення у(хk+1), що входить до правої частини цієї рівності, можна обчислити за формулою (1.7). Підставивши його в праву частину рівності (1.11), дістанемо рівність:
Звідси для удосконаленого методу Ейлера-Коші матимемо такі розрахункові формули:
(1.12)
(1.13)
Отже, і в цьому методі на кожному кроці інтегрування праву частину рівняння (1.1) обчислюють двічі: спочатку за методом Ейлера (формула (1.12)) обчислюють наближене значення шуканого розвязку у точці хk+1, яке потім уточнюють за формулою (1.13). Похибка методу на кожному кроці має порядок О(h3).
Така побудова наближеного розвязку задачі (1.1)1(1.2) з геометричної точки зору означає, що на відрізку [xk,xk+1] графік інтегральної кривої наближають відрізком прямої, яка проходить через точку (xk,yk) і має кутовий коефіцієнт Тобто ця пряма утворює з додатним напрямком осі Ох кут
Координати точки (xk+1,) визначають як точку перетину дотичної у=уk+f(xk,yk)(x-xk) до графіка інтегральної кривої задачі (1.1)-(1.2) в точці (xk,yk) з прямою х=хk [2].