Передаточні функції фільтрів

Передаточною функцією H(z) називають відношення z-образів вихідного Y(z) і вхідного X(z) сигналів фільтра при нульових початкових умовах.

H(z)=

Для рекурсивного фільтра з формули для лінійного дискретного фільтру

y(nT)= - a_jy((n-j)T)+ b_lx((n-l)T)

отримуємо:

H_p (z)= (4.2)

Для нерекурсивних фільтрів отримаємо:

H_H (z)= (4.3)

Коефіцієнти фільтрів a_j і b_l є коефіцієнтами відповідних передаточних ф-цій.

Основні форми реалізації рекурсивних фільтрів

1. Пряма форма відповідає безпосередній реалізації фільтра за ф-лою для лінійного дискретного фільтру чи (4.2)

Для нерекурсивного : а_j=0 і тому нижньої частини не буде.

2) Канонічна форма дозволяє зменшити число елементів затримки у порівнянні з їх кількістю при прямій формі реалізації до мінімуму.

Відповідає заміні ф-ли для лінійного дискретного фільтру еквівалентною системою різносних рівнянь.

Отримали це так:

H(z)=H₁(z) H₂(z) де:

3) Каскадна форма (послідовна) представляє собою каскадне з’єднання однотипних ланок, що відповідає представленню H(z) у вигляді добутку.

,

де L-кількість окремих ланок, що називаються біквадратними блоками. Біквадратний блок є універсальною ланкою, що підходить для побудови будь-яких фільтрів.

4) Паралельна форма реалізації, що представляє собою паралельне з’єднання, відповідне представленню H(z) у вигляді Суми. А сама схема – паралельне з’єднання біквадратних блоків при β_2к=0

Приклади побудови цифрових фільтрів

y (nT) = 0.2+0.3y((n-1)T)+2x((n-2)T)

Пристрій будується дуже просто, з суматора.

y (nT)= 0.2+0.3iy ((n-1)T)+0.2y ((n-2)T)+ix (nT)

y (nT)= y₁ (nT)+iy₂ (nT)

y₁ (nT)= 0.2-0.3y₂ (n-1)T+0.2y₁((n-2)T)

y₂ (nT)= 0.3y₁ ((n-1)T)+0.2y₂ ((n-2)T)+x (nT)

; H₂ (z)= 0.2+z ^-1 + z ^–2;

Знаки, які стоять у різносному рівнянні і в передній функції мають різні значення, тобто

Коефіцієнти зверху лишаються з тим же знаком, а знизу міняють свій знак на протилежний.

x (nT)

Побудуємо фільтр у прямій формі:

В канонічній формі:

Основні етапи проектування нерекурсивних фільтрів

Підготовчий. Математичне формулювання задачі складається з кроків:

1.Вибір типу фільтра.

Вибирається один з двох класів фільтра, будуть або лінійною ФЧХ, або мінімально фазовою.

2.Вибираємо апроксимуючу функцію

,c, значення якої визначають потрібну характеристику фільтра, найбільш часто АЧХ.

 – нормована частота

с – вектор коефіцієнтів, що співпадає з вектором коефіцієнтів фільтра В або досить просто звязаний з ним.

3.Визначення апроксимованої ф-ції

, яка задає вимоги до заданої характеристики.

4.Вибір критерію апроксимації, тобто уточнення змісту наближеної рівності

при заданих значеннях

5.Визначення вагової ф-ції апроксимації , яка задає вимоги до точності останнього наближеної рівності.

Метою першого етапу є математичне формулювання задачі обчислення вектора коефіцієнта С за заданими вимогами до характеристик фільтру.

2 етап. Розвязання задачі апроксимації. Складається з таких кроків:

1. Оцінка необхідного порядку фільтра N.

2. Розрахунок коефіцієнтів вектора С.

3. Перевірка критерію отримання рішення (виконання заданих вимог до характеристик фільтра).

4. А) Якщо вимоги до характеристик виконуються , то за вектором коефіцієнтів С визначають вектор B.

2 етап закінчується.

В) Якщо вимоги не виконуються, то повертаються до початку другого етапу і розраховують вектор С при більшому значенні N.

Метою 2-го етапу є визначення вектора коефіцієнтів фільтра B.

3 етап. Розрахунок розрядності S_k коефіцієнтів або розрядності регістрів ПЗП – залежить від вибраної елементної бази.

1. При реалізації на спеціальному мікропроцесорі (DSP) виходить, що S_k одразу задане. Тоді на цьому кроці перевіряють, чи виконуються задані вимоги до характеристик фільтра.

А) Якщо виконуються, переходимо до 4 етапу, В) якщо ні, то вертаються на 2 етап, задають більше N і знову розвязують задачу апроксимації і переходять до 3 етапу.

2. Якщо фільтр реалізується на БІС загального застосування або універсальному мікропроцесорі, то необхідно мінімізувати S_k до тих пір, поки задані характеристики не перестануть виконуватися.

4 етап. Розраховуємо розрядність регістрів ОЗП, так щоб потужність шумів фільтра була менше ніж потужність шуму на вході.

5 етап. Здійснюється схемна реалізація фільтра на обраній елементній базі.

каскадній формі:

y (nT)= -0.2y (n-1)T+0.4y (n-2)T+0.8y ((n-3)T)+x ((n-1)T)+0.3 x (nT)

Паралельна форма – це сума двох членів

.

Проектування рекурсивних цифрових фільтрів (РЦФ).

Є три основні класи розрахунку рекурсивних фільтрів.

1.Методи перетворення аналогових фільтрів у цифрові (метод білінійного перетворення).

2.Прямі методи розрахунку РЦФ у z-площині.

3.Методи, що використовують алгоритми оптимізації.

Метод білінійного перетворення

Перетворює передаточну ф-цію T(S) аналогового фільтра у відповідну передаточну ф-цію H(z) РЦФ. Дане перетворення може бути виконане вручну або на ЕОМ.

Для того, щоб розрахувати РЦФ, потрібно знати аналоговий фільтр і найбільш протабульовані такі фільтри :

Найбільш розповсюджені аналогові фільтри.

1.) Фільтри Баттерворта (тип В) з монотонно спадною АЧХ , при >0.

АЧХ:

A_з-затримання

A_n-пропускання

АЧХ A=f() нормованих передаточних ф-цій фільтра.

_среза=1.

2.) Фільтри Чебишева (тип Т) АЧХ рівнохвильова у полосі пропускання і монотонно спадна у полосі затримання.

3.) Інверсний Чебишева (тип I) АЧХ монотонно спадна у полосі пропускання і рівнохвильова у полосі затримування.

4.Золотарева-Кауера (тип С)

(еліптичний фільтр)

АЧХ рівнохвильова у полосі пропускання і затримування.