лекц_ 1

Двоичная система счисления.

История развития. Разнообразие систем счисления.

Когда людям приходилось считать на пальцах очень большие совокупности предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй – десятки, а третий – сотни, т.е. десятки десятков.

₅	-при счете пальцами одной руки. При таком счете пальцы второй руки называют теми же словами, что и пальцы первой руки, но добавляют слово, означающее пять пальцев или руку. Так что шесть у этих народов звучит чем-то вроде «одиннапять».

₂₀	У большинства народов, применявших пятеричный счет, он сочетался с двадцатеричным – две руки и две ноги давали двадцать пальцев. Например, у шумеров число 40 называлось «дважды двадцать», а не «четыре раза десять».

Майя считали двадцатками. Числа от 1 до 20 обозначались точками и черточками. Если под числом был нарисован особый значок в виде глаза, это значило, что число надо увеличить в двадцать раз.

.	..	...	....	____	.__
1	2	3	4	5	6

₆₀	Серьезным соперником десятичной системы счета оказалась двенадцатеричная. Вместо десятков применяли при счете дюжины, т.е. группы из двенадцати предметов. В столовый сервиз, как правило, входят 12 глубоких, 12 мелких и 12 маленьких тарелок, а в чайный – 12 чашек, 12 блюдец и т.д.

Шумеры и вавилоняне не остановились на счете дюжинами. Их система счисления была шестидесятеричной. Например, число 137 вавилонский ученый представлял себе так: 2 шестидесятки + 17 единиц = 137 В этой системе счисления особые имена получили числа 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000 и т.д. Иными словами, числа 6 и 10 соперничали друг с другом: вместо того чтобы умножать каждый раз предыдущую разрядную единицу на 10, как это делаем мы, шумеры сначала умножали 1 на 10, потом 10 на 6, затем 60 снова на 10, а 600 опять на 6 и т.д. Счет шестидесятками оказал влияние на наше измерение времени и углов. Ведь мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту – на 60 секунд. Окружность делят на 360 , т.е.6*60 градусов, градус – на 60 минут, а минуту – на 60 секунд. Так что самые точные часы и угломерные приборы хранят в себе память о глубочайшей древности.

₁₀

Разумеется, победа десятичной системы счисления над всеми соперницами объясняется тем, что у человека на каждой руке по пять пальцев. Было бы их шесть, считали бы мы не десятками, а дюжинами. А если бы у нас, как у лошадей, на руках и ногах были копыта, то арифметика была бы такой же, как у папуасов, - мы считали бы парами.

₂	Но странные повороты делает история! Именно двоичная система счета оказалась самой полезной для современной техники. Мы поговорим об этом позднее, а сейчас лишь упомянем, что на основе двоичной арифметики работают современные быстродействующие вычислительные машины.

Понятие о системах счисления. Запись систематического числа

Способ записи чисел с помощью специальных знаков (цифр) называется системой счисления. В основе всякой системы счисления лежит следующий принцип: некоторое определенное число единиц составляет одну единицу следующего высшего разряда. Это число называется основанием системы счисления:

q=2 двоичная СС;
q=3 троичная СС;
q=5 пятеричная СС;
q=10 десятичная СС;
q=12 двенадцатеричная СС;
….
q=60 шестидесятеричная СС и т.д.

Запись чисел в каждой из СС с основанием q означает сокращенную запись выражения

Классификация систем счисления

Системы счисления
Позиционные	Непозиционные
В позиционных СС вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения: 700+50+7+0,7= =710²+510¹+710⁰+710^-1=757,7 Значение каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в числе.	В непозиционных системах вес цифры (т.е. вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так в римской СС в числе XXXII (32) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти. Значение цифры не зависит от места (позиции) в числе. Примером является Римская система счисления

Запись чисел в разных системах счисления

двоичная (используются цифры 0, 1)
восьмеричная (используются цифры 0, 1, , 7)
шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ,9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы А, B, C, D, E, F).

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	А
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11

Перевод целого числа из одной системы счисления в другую

При переводе десятичного числа в систему с основанием q (q = 2,8,16) его необходимо последовательно делить на q до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный q-1. Число с основанием q записывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего. Пример. Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Перевод числа из двоичной (8-,16-ричной) системы в десятичную:

Для этого число в двоичной (8-,16-ричной) системе надо представить в виде суммы степеней основания его системы счисления. Примеры:

Содержание