Теоретичні відомості

В ряд Фур’є можуть бути розкладені періодичні сигнали. При цьому вони представляються у вигляді суми гармонічних функцій або комплексних експонент з частотами, що утворюють арифметичну прогресію. Для того щоб такий розклад існував, фрагмент сигналу довжиною в один період повинен задовольняти умови Дирихлє:

• Не повинно бути розривів другого роду (з відгалуженнями функцій, що уходять в нескінченність);

• Число розривів першого роду (скачків) повинно бути скінченним;

• Число екстремумів повинно бути скінченним (в якості приклада функції, яка на останньому інтервалі має нескінченне число екстремумів, можна привести sin(1/x) в околі нуля).

В залежності від конкретної форми базисних функцій розрізняють декілька форм запису ряду Фур’є.

Синусно-косинусна форма:

В цьому варіанті ряд Фур’є має наступний вигляд:

(2.1)

Тут - кругова частота, що відповідає періоду повторення сигналу рівному T. Частоти , що входять до формули і кратні круговій частоті, називаються гармоніки та нумеруються в залежності від індексу k; частота називається k - ою гармонікою сигналу. Коефіцієнти ряду та розраховуються за формулами:

,

.

Константа розраховується за загальною формулою для . Заради цієї загальності і введена трохи дивна на перший погляд форма запису постійного доданку (з діленням на два). Сам же доданок представляє собою середнє значення сигналу на періоді:

.

Зауваження: Межі інтегрування не обов’язково повинні бути такими, як в наведених вище формулах (від до ). Інтегрування може виконуватися за будь-яким інтервалом довжиною Т – результат від цього не зміниться. Конкретні межі вибираються для зручності обчислення; наприклад, може здатися зручніше виконати інтегрування від 0 до Т чи від –Т до 0.

Якщо є парною функцією, то всі будуть рівними нулю і в формулі ряду Фур’є будуть присутні тільки косинусні складові. Якщо ж є непарною функцією, нулю будуть дорівнювати, навпаки, косинусні коефіцієнти і в формулі залишаться тільки синусні складові.