2.6 Рекомендации по выбору формы записи систем линейных алгебраических уравнений
Систему n линейных уравнений общего вида:
(4)
(4) можно записать посредством матричных обозначений в следующем виде: А·Х=В,
; ; (5)
квадратная матрица А называется матрицей системы, а вектора Х и В соответственно вектором-столбцом неизвестных систем и вектором-столбцом ее свободных членов.
В матричном виде исходную систему n линейных уравнений можно записать и так:
(6)
Решение системы линейных уравнений сводиться к отысканию значений элементов вектора-столбца (хi), называемых корнями системы. Чтобы эта система имела единственное решение, входящее в нее n уравнение должно быть линейно независимым. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя системы, т.е. Δ=detA≠0.
Алгоритм решения системы линейных уравнений подразделяется на прямые и итерационные. На практике никакой метод не может быть бесконечным. Для получения точного решения итерационные методы требуют бесконечного числа арифметических операций. практически это число приходиться брать конечным и поэтому решение в принципе имеет некоторую ошибку, даже если пренебречь ошибками округлений, сопровождающими большинство вычислений. Что же касается прямых методов, то они даже при конечном числе операций могут в принципе дать точное решение, если оно существует.
Прямые и конечные методы позволяют найти решение системы уравнений за конечное число шагов. Это решение будет точным, если все промежутки вычисления проводятся с ограниченной точностью.