9.2 Разложение аппроксиматора по системе базисных функций. Сведение задачи аппроксимации к системе лау.

Возникает естественный вопрос, за счет чего же можно изменить значения критерия при аппроксимации. Очевидно, должна зависеть от параметров, варьируя которыми мы и будем менять ее вид.

Если представить график функции в виде проволоки, то изменяя эти параметры, мы будем по-разному изгибать эту проволоку.

Одним из естественных предположений для выбора функции является следующее:

- подбираемые варьируемые константы;

- набор неизменяющихся функций, называемых базисными.

Пусть мы имеем , тогда требование близости в среднеквадратическом смысле примет вид:

где

Найдем это выражение:

Получена система линейных уравнений:

где - симметричная матрица.

(1)

Уравнение (1) представляет собой функцию-аппроксиматор.

Необходимо определить на интервале , а в качестве критерия близости выбираем:

(2)

(3)

Введем обозначения:

(**)

(4)

(5)

Если сравнить (**) с формулой (*) (смотрите ранее), то заметим, что суммирование по точкам заменено интегрированием по отрезку. Понятно, что в программной реализации в лабораторной работе по точечному среднеквадратичному приближению достаточно заменить (*) на формулу (**).

Рассмотрим пример:

Пусть мы имеем функцию на интервале . Необходимо приблизить функцией .

Тогда система уравнений (4) примет вид: