18. Метод множителей Лагранжа

Метод множителей Лагранжа, метод нахождения условного экстремума функции , где , относительно ограничений ,  меняется от единицы до .

Описание метода

Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции f и функций , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — λ_i:

где .

Составим систему из n + m уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по x_j и λ_i.

Если полученная система имеет решение относительно параметров x'_j и λ'_i, тогда точка x' может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.

Нижеприведенное обоснование метода множителей Лагранжа не является его строгим доказательством. Оно содержит эвристические рассуждения, помогающие понять геометрический смысл метода.

Применение

Метод множителей Лагранжа применяется при решении задач нелинейного программирования, возникающих во многих областях (например, в экономике).

Основной метод решения задачи об оптимизации качества кодирования аудио и видео данных при заданном среднем битрейте (оптимизация искажений — англ. Rate-Distortion optimization).