Рассмотрим теперь "золотую пропорцию"
Как получить из нее обратное число 1/t? Выражение (3-b) дает очень простой ответ на этот вопрос. Для этого достаточно вычесть единицу из "золотой пропорции" t.
Задача о размножении кроликов
Одним из наиболее известных математиков эпохи Средневековья по праву считается Леонардо Пизано Фибоначчи. Позже мы расскажем о Фибоначчи и его роли в развитии западноевропейской математики более подробно. По иронии судьбы Фибоначчи, который внес выдающийся вклад в развитие математики, стал известным в современной математике только лишь как автор интересной числовой последовательности, называемой числами Фибоначчи. Эта числовая последовательность была получена Фибоначчи при решении знаменитой "задачи о размножении кроликов". Формулировка и решение этой задачи считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики. Именно с помощью этой задачи Фибоначчи предвосхитил метод рекуррентных соотношений, который считается одним из мощных методов решения комбинаторных задач. Рекуррентная формула, полученная Фибоначчи при решении этой задачи, считается первой в истории математики рекуррентной формулой.
Существо своей "задачи о размножении кроликов" Фибоначчи сформулировал предельно просто:
"Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожденная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем через месяц дает жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огороженном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?"
Д ля решения этой задачи, которая наглядно демонстрируется с помощью рисунка, обозначим через A пару зрелых кроликов, а через B - пару новорожденных кроликов. Тогда процесс "размножения" может быть описан с помощью двух "переходов", которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения:
Заметим, что переход (1) моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В. Переход (2) моделирует процесс "созревания" кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А. Тогда, если мы начнем в первом месяце со зрелой пары А, тогда процесс размножения кроликов может быть представлен с помощью Таблицы 1.
Дата | Пары кроликов | A | B | A + B |
1-го января | A | 1 | 0 | 1 |
1-го февраля | AB | 1 | 1 | 2 |
1-го марта | ABA | 2 | 1 | 3 |
1-го апреля | ABAAB | 3 | 2 | 5 |
1-го мая | ABAABABA | 5 | 3 | 8 |
1-го июня | ABAABABAABAAB | 8 | 5 | 13 |
Заметим, что в столбцах А и В таблицы 1 указаны количества зрелых и новорожденных пар кроликов в каждом месяце года, а в таблице А+В - суммарное количество кроликов.
Изучая последовательности А-, В- и (А+В)-чисел, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через Fn, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:
Fn = Fn-1 + Fn-2 | (3) |
Такая формула называется рекуррентной формулой.
Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой (3), зависят от начальных значений последовательности F1 и F2. Например, мы имеем F1 = F2 = 1 для A-чисел и для этого случая рекуррентная формула (3) "генерирует" следующую числовую последовательность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... . | (4) |
Для В-чисел мы имеем: F1 = 0 и F2 = 1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .
Наконец, для (А + В)-последовательности мы имеем: F1 = 1 и F2 = 2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... .
В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность (4). Числа Фибоначчи обладают удивительными математическими свойствами
Ф ибоначчи не стал изучать математические свойства полученной им числовой последовательности
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... . | (1) |
Это за него сделали другие математики. Начиная с 19 в., математические работы, посвященные свойствам чисел Фибоначчи, по остроумному выражению одного математика "начали размножаться как фибоначчиевые кролики".
Следующая задача, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о выборе наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах" или просто "задачей о гирях". В русской историко-математической литературе "задача о гирях" известна под названием "задачи Баше-Менделеева", названной так в честь французского математика 17 в. Баше де Мезириака, который поместил эту задачу в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.) и выдающегося русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей в бытность директором Главной Палаты мер и весов России.
Суть "задачи Баше-Менделеева" состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить всевозможные грузы Q от 0 до максимального груза Qmax, чтобы значение максимального груза Qmax было бы наибольшим среди всех возможных вариантов? Известно два варианта решения этой задачи: (1) когда гири разрешается класть на свободную чашу весов; (2) когда гири разрешается класть на обе чаши весов.
В первом случае "оптимальная система гирь" сводится к двоичной системе гирь: 1, 2, 4, 8, 16, ..., а возникающий при этом "оптимальный" алгоритм или способ измерения "порождает" классическую двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров.
Во втором случае "оптимальной" является "троичная" система гирь: 1, 3, 9, 27, 81, ..., а возникающий при этом способ измерения "порождает" так называемую троичную симметричную систему счисления, которая была использована в "троичном" компьютере "Сетунь", созданном в 50-е годы в Московском университете.
Методологическое значение "задачи о гирях" состоит прежде всего в том, что она является одной из первых "оптимизационных" задач в истории математики. Во-вторых, она касается "проблемы измерения", то есть одной из фундаментальных проблем математики. В третьих, она связана с проблемой систем счисления, одной из фундаментальных проблем современной информатики. Именно развитие этой задачи с указанных точек зрения привело в последние годы к разработке так называемой "алгоритмической теории измерения", о которой мы расскажем позже.
Но возвратимся снова к Фибоначчи и его сочинениям. Хотя Фибоначчи был одним из наиболее ярких математических умов в истории западно-европейской математики, однако его вклад в математику незаслуженно принижен. Наиболее четко значение математического творчества Фибоначчи для математики подчеркнуто русским математиком проф. А.В. Васильевым в его книге "Целое число" (1919 г.):
"Сочинения ученого пизанского купца были настолько выше уровня математических знаний даже ученых того времени, что их влияние на математическую литературу становится заметным только через два столетия после его смерти в конце 15-го века, когда многие из его теорем и задач вводятся другом Леонардо да Винчи, профессором многих итальянских университетов Лукою Пачиоли в его сочинениях и в начале 16-го века, когда группа талантливых итальянских математиков: Сципион дель Ферро, Иероним Кардано, Тарталия, Феррари решением кубического и биквадратного уравнения положили начало высшей алгебре".
Из этого высказывания вытекает, что Фибоначчи почти на два столетия опередил западно-европейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, который получил свое "научное образование" у египетских и вавилонских жрецов и затем способствовал передаче полученных знаний в греческую науку, Фибоначчи получил свое математическое образование в арабских учебных заведениях и многие из полученных там знаний, в частности, арабо-индусскую десятичную систему счисления, он попытался "внедрить" в западно-европейскую науку. И подобно Пифагору историческая роль Фибоначчи для западного мира состояла в том, что он своими математическими книгами способствовал передаче математических знаний арабов в западно-европейскую науку и тем самым заложил основы для дальнейшего развития западно-европейской математики.
В 1958 г. "опыты Фехнера" были повторены английскими учеными. Эти опыты вновь оказались весьма благоприятными для золотого сечения. Большинство испытуемых (35%) без промедления указали на "золотой" прямоугольник 21:34. Соседние к нему фигуры (2:3 и 13:23) также были оценены весьма высоко (20% - верхняя фигура и 19% - нижняя). Все остальные прямоугольники получили не более 10%.
Эти же опыты, проведенные в детской аудитории, дали совершенно иные результаты, не обнаружив чувства гармонии, свойственного взрослым. Отсюда было сделано заключение, что, по-видимому, ощущение прекрасного в его наиболее тонких и глубоких сторонах присуще лишь человеку зрелому.
Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир живой природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".
В мире неживой природы действует так называемый принцип наименьшего действия. В соответствии с этим принципом система постоянно переходит от менее устойчивого к наиболее устойчивому состоянию. При этом всякое тело стремится принять такую форму, при которой оно обеспечивает минимум энергии его поверхности, совместимую с ориентирующими силами. Симметрия порождающей среды, в которой образуется тело, накладывается на симметрию тела. Получающаяся при этом форма тела сохраняет те элементы собственной симметрии, которые совпадают с наложенными на него элементами симметрии среды.
Принципу наименьшего действия подчиняются все системы неорганического мира. В биологическом и растительном мире это принцип не имеет такого широкого распространения. Любое животное или растение стремятся создать такую морфологическую оболочку, которая бы была благоприятна для размножения и годна для сопротивления условиям среды.
В этом случае вступает в действие принцип экономии материи, который не действует в неорганическом мире. Ярким примером этому служит стремление живых организмов к экономии костной субстанции при распределении материи, дающее максимум прочности во всех нужных направлениях.
Кроме этого, живые организмы проявляют лишь одним им свойственный феномен - феномен роста. Неорганические кристаллы увеличиваются путем присоединения идентичных элементов; живой организм растет путем "всасывания", идущего изнутри и направляющегося наружу.
Мы имеем также еще одно коренное различие: молекулярные элементы неорганической материи, не меняются во все время существования данной совокупности, тогда как элементы, образующие живую ткань, в процессе роста сгорают, удаляются и возобновляются, сохраняя общее начертание формы организма. Например, раковина (внешний скелет морских организмов) растет, сохраняя свою первоначальную форму, несмотря на свой асимметричный рост; рога животных растут только с одного конца.
- Лекция 1. Базовые понятия информации Введение
- Информация, энтропия и избыточность при передаче данных
- Информационные процессы
- Основные структуры данных
- Обработка данных
- Способы представления информации и два класса эвм
- Представление данных в эвм.
- Вопросы и задания
- Лекция 2. Компьютер – общие сведения
- Центральное процессорное устройство
- Устройства ввода/вывода
- Классификация запоминающих устройств
- Оперативная память
- Основные внешние устройства компьютера
- Основные характеристики персональных компьютеров
- Вопросы и задания
- Лекция 3. Многоуровневая компьютерная организация
- Архитектура компьютера
- Классическая структура эвм - модель фон Неймана
- Особенности современных эвм
- Специальное
- Библиотеки стандартных программ и ассемблеры
- Высокоуровневые языки и системы автоматизированного программирования
- Диалоговые ос и субд
- Прикладные программы и case – технологии
- Компьютерные сети и мультимедиа
- Операционные системы
- Лекция 5.Вычислительные системы - общие сведения Введение
- Общие требования
- Классификация компьютеров по областям применения
- Персональные компьютеры и рабочие станции
- Суперкомпьютеры
- Увеличение производительности эвм, за счет чего?
- Параллельные системы
- Использование параллельных вычислительных систем
- Закон Амдала и его следствия
- Назначение процессора и его устройство
- Устройство управления
- Микропроцессорная память
- Основная (оперативная) память - структура адресной памяти
- Интерфейсная часть мп
- Тракт данных типичного процессора
- Команды уу
- Базовые команды
- Трансляторы
- Архитектура системы команд и классификация процессоров
- Микроархитектура процессора Pentium II
- 512 Кбайт
- Вопросы и задания
- Лекция 6 Структурная организация эвм - память Общие сведения
- Верхняя
- Верхняя память (Upper Memory Area) – это 384 Кбайт, зарезервированных у верхней границы системной памяти. Верхняя память разделена на несколько частей:
- Первые 128 Кбайт являются областью видеопамяти и предназначены для использовании видеоадаптерами, когда на экран выводится текст или графика, в этой области хранятся образы изображений.
- Видеопамять
- Иерархия памяти компьютера
- Оперативная память, типы оп
- Логическая организация памяти
- Связывание адресов
- Функции системы управления памятью
- Тэг Строка Слово (байт)
- Способы организации кэш-памяти
- 1. Где может размещаться блок в кэш-памяти?
- 2. Как найти блок, находящийся в кэш-памяти?
- 3. Какой блок кэш-памяти должен быть замещен при промахе?
- 4. Что происходит во время записи?
- Разновидности строения кэш-памяти
- Вопросы и задания
- Лекция 7 Логическая организация памяти Введение
- Адресная, ассоциативная и стековая организация памяти
- Стековая память
- Сегментная организация памяти.
- Косвенная адресация
- Операнд 407 суммируется с
- Типы адресов
- Понятие виртуальной памяти
- Страничное распределение
- Свопинг
- Вопросы и задания
- Лекция 8 Внешняя память компьютера Введение
- Жесткий диск (Hard Disk Drive)
- Конструкция жесткого диска
- Основные характеристики нмд:
- Способы кодирования данных
- Интерфейсы нмд
- Структура хранения информации на жестком диске
- Кластер
- Методы борьбы с кластеризацией
- Магнито-оптические диски
- Дисковые массивы и уровни raid
- Лазерные компакт-диски cd - rom
- Вопросы и задания
- Лекция 9 Основные принципы построения систем ввода/вывода
- Физические принципы организации ввода-вывода
- Интерфейс
- Магистрально-модульный способ построения эвм
- Структура контроллера устройства
- Опрос устройств и прерывания. Исключительные ситуации и системные вызовы
- Организация передачи данных
- Прямой доступ к памяти (Direct Memory Access – dma)
- Логические принципы организации ввода-вывода
- Структура системы ввода-вывода
- Буферизация и кэширование
- Заключение
- Структура шин современного пк
- Мост pci
- Вопросы и задания
- Лекция 10. Bios и его настройки Введение
- Начальная загрузка компьютера
- Вход в bios и основные параметры системы
- Общие свойства – стандартная настройка параметров
- Свойства bios
- Свойства других чипсетов
- Свойства интегрированных устройств
- Свойства слотов pci
- Управление питанием
- Лекция 11 Особенности архитектуры современных вс
- Область применения и способы оценки производительности мвс
- Классификация архитектур по параллельной обработке данных
- Вычислительные Системы
- Параллелизм вычислительных процессов
- Параллелизм на уровне команд – однопроцессорные архитектуры
- Конвейерная обработка
- Суперскалярные архитектуры
- Мультипроцессорные системы на кристалле Технология Hyper-Threading
- Многоядерность — следующий этап развития
- Многопроцессорные архитектуры – параллелизм на уровне процессоров
- Векторные компьютеры
- Использование параллельных вычислительных систем
- Закон Амдала и его следствия
- Вопросы и задания
- Лекция 12 Архитектура многопроцессорных вс Введение
- Smp архитектура
- Mpp архитектура
- Гибридная архитектура (numa)
- Организация когерентности многоуровневой иерархической памяти.
- Pvp архитектура
- Кластерная архитектура
- Проблемы выполнения сети связи процессоров в кластерной системе.
- Лекция 13 Кластерные системы
- Концепция кластерных систем
- Разделение на High Avalibility и High Performance системы
- Проблематика High Performance кластеров
- Проблематика High Availability кластерных систем
- Смешанные архитектуры
- Лекция 14 Высокопроизводительные процессоры
- Ассоциативные процессоры
- Конвейерные процессоры
- Матричные процессоры
- Клеточные и днк процессоры
- Клеточные компьютеры
- Трансгенные технологии
- Коммуникационные процессоры
- Процессоры баз данных
- Потоковые процессоры
- Нейронные процессоры
- Искусственные нейронные сети
- Нейрокомпьютеры
- Процессоры с многозначной (нечеткой) логикой
- Лекция 15 Многомашинные системы – вычислительные сети Введение
- Простейшие виды связи сети передачи данных
- Связь компьютера с периферийным устройством
- Связь двух компьютеров
- Многослойная модель сети
- Функциональные роли компьютеров в сети
- Одноранговые сети
- Сети с выделенным сервером
- Гибридная сеть
- Сетевые службы и операционная система
- Лекция 16. Файловая система компьютера Введение
- Общие сведения о файлах
- Типы файлов
- Атрибуты файлов
- Организация файлов и доступ к ним
- Последовательный файл
- Файл прямого доступа
- Другие формы организации файлов
- Операции над файлами
- Директории. Логическая структура файлового архива
- Разделы диска. Организация доступа к архиву файлов.
- Операции над директориями
- Защита файлов
- Контроль доступа к файлам
- Списки прав доступа
- Заключение
- Лекция 17. Сети и сетевые операционные системы Введение
- Для чего компьютеры объединяют в сети
- Сетевые и распределенные операционные системы
- Взаимодействие удаленных процессов как основа работы вычислительных сетей
- Основные вопросы логической организации передачи информации между удаленными процессами
- Понятие протокола
- Многоуровневая модель построения сетевых вычислительных систем
- Проблемы адресации в сети
- Одноуровневые адреса
- Двухуровневые адреса
- Удаленная адресация и разрешение адресов
- Локальная адресация. Понятие порта
- Полные адреса. Понятие сокета (socket)
- Проблемы маршрутизации в сетях
- Связь с установлением логического соединения и передача данных с помощью сообщений
- Синхронизация удаленных процессов
- Заключение
- Лекция 18. Система счисления и архитектура эвм Введение
- Системы счисления и их роль в истории компьютеров
- «Золотое сечение» и компьютер Фибоначчи
- Геометрическое определение "золотого сечения"
- Алгебраические свойства золотой пропорции
- Рассмотрим теперь "золотую пропорцию"
- Фибонччи и компьютеры
- "Троичный принцип" Николая Брусенцова.
- Список литературы: