Комплексна форма:

Дана форма представлення ряду Фур’є найбільш часто використовується в радіотехніці. Вона одержується з дійсної форми представлення косинуса у вигляді напівсуми комплексних експонент (таке представлення витікає з формули Ейлера :

.

Застосувавши дане перетворення до дійсної форми ряду Фур’є, отримаємо суми комплексних експонент з додатними та від’ємними показниками:

.

А тепер будемо трактувати експоненти зі знаком «мінус» в показнику як члени ряду з від’ємними номерами. В рамках цього ж загального підходу постійна складова стане членом ряду з нульовим номером. В результаті отримаємо комплексну форму запису ряду Фур’є:

(2.3)

Комплексні коефіцієнти ряду пов’язані з амплітудами і фазами , що фігурують в дійсній формі запису ряду Фур’є (2.2), наступними неважкими співвідношеннями:

,

, .

Неважко виглядають і формули зв’язку з коефіцієнтами та синусно-косинусної форми ряду Фур’є (2.1):

,

, .

Звідси зразу ж слідує формула безпосереднього розрахунку коефіцієнтів ряду Фур’є в комплексній формі:

(2.4)

Якщо є парною функцією, коефіцієнти ряду будуть тільки дійсними, а якщо - функція непарна, коефіцієнти ряду виявляться тільки уявними.

Сукупність амплітуд гармонік ряду Фур’є часто називають амплітудним спектром, а сукупність їх фаз – фазовим спектром. Ці поняття не слід плутати з амплітудно- та фазочастотними характеристиками, які відносяться не до сигналів, а до кіл.

Якщо аналізує мий сигнал є дійсним, то його амплітудний та фазовий спектри володіють симетрією:

, ,