Сопряженные задачи переноса и диффузии в проблеме оценки и прогноза состояния окружающей среды

дипломная работа

4.1 Определение функционала чувствительности

Состояние атмосферы находится в непосредственной зависимости от уровня развития промышленности в регионе, действие любого источника выброса загрязняющего вещества представляет некоторую опасность для окружающей среды. При решении ряда оптимизационных задач, связанных с возможным размещением новых предприятий или регламентации работы существующих с целью соблюдения санитарных норм, объектом изучения являются некоторые функционалы от поля концентрации загрязняющего вещества. К числу изучаемых функционалов относятся, например, полное количество примесей, осевших в конкретном регионе, среднегодовая концентрация различных субстанций, экономический ущерб, наносимый окружающей среде и др. В таких задачах использование сопряженных функций является весьма эффективным [3,5,9].

Функционал чувствительности территории к размещению объектов выброса загрязняющих веществ, может быть рассчитан с помощью математического аппарата сопряженного уравнения.

Пусть рассматривается функционал (1.2)

, где .

Если, например, определяется соотношением (1.3), то функционал J представляет собой суммарную концентрацию примеси в выделенной подобласти области D, взвешенную с весом 0 или коллективную экспозицию, которой будет подвержено население региона в результате эмиссии загрязнителя источником. Область G соответствует охраняемой зоне. Задача сводится к оценке функционала J, определяемого на множестве функций состояния, удовлетворяющих исходной задаче.

Для вычисления значения функционалов J применяется двойственная формула, использующая решение сопряженной задачи

. (4.1)

Будем рассматривать модельный пример в области . Пусть в рассматриваемой области функционируют n предприятий. Они характеризуются координатами ri (xi,yi), временем и мощностью выброса, соответственно i и Qi. Пусть экологически значимые зоны характеризуются координатами в этой области rT (xT,yT). Рассматривается их состояние в момент Т, 0 i < T, i=1,2,…,n [10]. Уравнения переноса примесей в атмосфере (1.1) позволяют получать распределение осредненных значений концентраций примесей в заданной области. Распространение примеси описывается уравнением (1.1), которое в случае рассмотрения плоской задачи при наличии n импульсных сосредоточенных источников примет вид

(4.2)

при , . Здесь принято

Пусть в качестве искомого функционала рассматриваем уровень загрязнения в точке rT в момент времени Т. Возникает необходимость рассмотрения сопряженных уравнений диффузии.

Сопряженное уравнение для (4.2) будет иметь вид

,

при ,

Решения этих задач может быть представлено аналитически в следующем виде [10]:

(4.3)

(4.4)

(4.5)

Для решения модельных задач несложные вычисления могут быть проведены с помощью Microsoft Excel.

Введем сеточную область G , с шагом 1.

Для узлов сетки нетрудно получить следующие значения: - величина, характеризующая концентрацию ЗВ, q* - чувствительность точки r к загрязнению, J - уровень загрязнения в точке rT в момент Т.

Предположим, существует два источника выброса со следующими характеристиками:

1) мощность выброса Qi=1, время выброса i=30,6, ri (2,66, 2,66);

2) мощность выброса Qi=2, время выброса i=33,3, ri (10,13, 10,5).

Горизонтальный и вертикальный коэффициенты диффузии примем равными 0,1 (==0,1), 1=0,02, 2=0,5; экологически значимую зону, располагающуюся в точке rT= (15, 15), будем рассматривать в момент времени Т=50. Наблюдения будем проводить в t=40.

Рисунки 2, 3 иллюстрируют распределение q и линии уровня функции чувствительности q* для области G.

Рисунок 2 - Диаграмма концентраций ЗВ при двух источниках выбросов

Из рисунка 1 видно, что наибольшая концентрация загрязняющих веществ достигается в точках, практически соответствующих координатам выбросов (скорость ветра мала). Причем, чем больше мощность источника, тем выше концентрация, что соответствует реальной картине.

Рисунок 2 - Диаграмма чувствительности точек области к загрязнению

Рисунок 2 показывает, что наиболее предрасположены к загрязнению точки охраняемой области. При этом уровень загрязнения в точке rТТ,yТ) в момент времени Т функционал J=8,96.

Делись добром ;)