Построение математических моделей методом идентификации
Задание 5. Разработка аналитических моделей объектов автоматизации. Линеаризация моделей
5.1 Постановка задачи
Разработайте математическую модель заданной динамической системы. Построить аналитическую модель емкости с одним притоком и двумя стоками (например двухручьевая МНЛЗ) и провести ее линеаризацию. Математическую модель заданного объекта представить в виде программы на ЭВМ, рассчитать кривые исходной и линеаризованной модели отклика модели на ступенчатое и импульсное воздействие. Предложить методику идентификации параметров модели. Какие эксперименты будет необходимо провести на реальном объекте? Оцените необходимый объем и форму представления результатов.
5.2 Математическая постановка задачи
В данном объекте управления выходной величиной является уровень металла в промежуточном ковше h, а входной величиной - разность между притоком и стоками металла ?G=Gпр-Gст1-Gст2, причем возмущения могут возникать за счет изменения Gпр,Gст1 и Gст2.
Изменение уровня характеризуется следующим дифференциальным уравнением:
, (5.1)
где с - плотность металла, F - площадьзеркала металла в промковше.
Известно, что сток жидкости через отверстие пропорционален корню квадратному из высоты этой жидкости на отверстием:
(5.2)
где бпр,бст1,бст2 - коэффициенты расхода на притоке и стоках; fпр,fст1,fст2 - проходные сечения в стопорных парах или в шиберных затворах сталеразливочного и промежуточного ковшей; H(t) - текущее значение уровня металла в сталеразливочном ковше.
С использование зависимостей (5.2) уравнение (5.1) приобретает вид нелинейного дифференциального уравнения первого порядка:
(5.3)
Уравнение можно несколько упростить, подвергнув линеаризации Gпр,Gст1 и Gст2, использовав разложение в ряд Тейлора Gпр в окрестностях точки Н0 и Gст1 и Gст2 в окрестностях точки h0 и отбросив члены ряда, содержащие величины второго и более порядков малости.
Введя некоторые обозначения и произведя перегруппировку членов, получим нелинейное дифференциальное уравнение:
(5.4)
где H и h - уровни металла в сталеразливочном и промежуточном ковшах;
Т - постоянная времени объекта;
k1,k21,k22,k3 - коэффициенты передачи объекта по различным каналам возмущений.
Выражая номинальный расход металла через сечение заготовки S и скорость разливки N, можно получить значение постоянной времени и коэффициентов передачи:
(5.5)
Таким образом правая часть уравнения (5.4) учитывает четыре возможных возмущения: по каналам регулирующих органов на притоке и стоках и каналу изменения уровня металла в сталеразливочном ковше.
Решая уравнения (5.3) и (5.4) с помощью конечных разностей, получим следующие выражения для нелинеаризованной и линеаризованной моделей:
(5.6)
(5.7)
5.3 Результаты расчетов модели промежуточного ковша двухручьевой МНЛЗ
а) нелинеаризованная модель (формула (5.6)):
- установившийся режим
- единичное воздействие (функция Хевисайда)
- импульсное воздействие (функция Дирака)
б) линеаризованная модель (формула (5.7)):
- единичное воздействие (функция Хевисайда)
- импульсное воздействие (функция Дирака)
Графики построены для возмущения по каналу уровня металла в сталеразливочном ковше.