15. Модели многогранников. Каркасные и сплошные модели. Платоновы тела: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Платоново тело

Граней

Вершин

Ребер

Тетраэдр

4

4

6

Гексаэдр

6

8

12

Октаэдр

8

6

12

Икосаэдр

20

12

30

Додекаэдр

12

20

30

Платоновыми телами называются правильные многогранники, т.е. такие выпуклые многогранники, все грани которых суть правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой

Евклидом было доказано, что существует всего пять правильных многогранников, каждый из которых характеризуется числом углов у каждой грани n и числом граней, примыкающих к одной вершине m

Формула Эйлера:

Г – Р + В = 2,

где Г – число граней, Р – число ребер, В – число вершин

Согласно Евклиду существуют следующие платоновы тела: n = 3, m = 3 – тетраэдр; n = 4, m = 3 – гексаэдр (куб);

n = 3, m = 4 – октаэдр; n = 3, m = 5 – икосаэдр;

n = 5, m = 3 – додекаэдр

Октаэдр имеет 8 граней, 12 ребер и 6 вершин и не может быть непосредственно вписан в куб. Однако, алгоритм его построения достаточно прост. Две вершины октаэдра расположены по обе стороны квадрата. Предположим, что стороны квадрата 1-2-3-4 имеют длину, равную 2. Точка 7 расположена в центре квадрата и также является центром октаэдра, а точка 8 находится посередине ребра 4-1. Поскольку точка 5 лежит на перпендикуляре в точке 7, то все, что нам надо знать, это расстояние h между этими двумя точками. Здесь можно использовать тот факт, что все вершины правильного многоугольника находятся на одинаковом расстоянии от центра. Следовательно, треугольник 1-5-7 является равнобедренным прямоугольным треугольником,