9.3.Основи реляційної алгебри

Реляційна модель баз даних надає можливість маніпулювати над доменами відношень. Для цих цілей існує два види апаратів маніпулювання відношеннями: реляційна алгебра (алгебра відношень) і реляційне обчислення (обчислення відношень).

Алгеброю відношень називають систему операцій маніпулювання відношеннями, кожний оператор якого в якості операнда (операндів) використовує одне чи більше відношень і утворює нове відношення за попередньо обумовленим правилом.

Реляційне обчислення дозволяє шляхом використання обчислення предикатів та кванторів змінних описувати відношення та операції над ними в вигляді аналітичного виразу або формули.

У реляційній алгебрі використовують п’ять основних операцій: об’єднання, різниця, декартовий добуток, проекція і селекція.

Проекція. Суть цієї операції полягає в тому, що береться відношення R, видаляються деякі з його компонентів і перевпорядковуються компоненти, що залишились. Якщо в результаті проекції з’являються однакові кортежі, то вони з результуючого відношення вилучаються. Операція проекції полягає в видаленні необхідних стовпців (доменів) з відношення. Нехай дано відношення СТУДЕНТ-УСПІШНІСТЬ (табл.9.1).

Таблиця 9.1

Студент-успішність

В результаті виконання операції проекції отримуємо нове відношення, яке подано в табл. 9.2.

Таблиця 9.2

Приклад операції "проекція"

Об’єднання. Об’єднання відношень R і S (позначаться R U S) представляє собою множину кортежів, які належать R чи S або їм обом. Оператор об’єднання застосовується тільки до відношень однакової арності. Якщо в результаті об’єднання відношень мають місце однакові кортежі, то вони заміняються одним.

Нехай задано два відношення, подані таблицями 9.3, 9.4. Виконаємо над ними операцію об’єднання.

Таблиця 9.3

Викладачі-дисципліни

Таблиця 9.4

Викладачі-дисципліни

В результаті об’єднання відношень отримуємо результуюче відношення, яке подано в табл.9.5.

Таблиця 9.5

Викладачі-дисципліни

Різниця. Різницею відношення R і S (позначається як R - S), називається множина кортежів, які належать R, але не належать S (рис.9.1). При реалізації різниці необхідно, щоб R і S мали одну і ту ж саму арність.

Рис. 9.1. - Графічна ілюстрація операції різниці відношень

Якщо А - відношення про жителів мікрорайону, В - відношення про тих, хто пройшов медичний огляд, то відношення А - В буде містити дані про тих жителів мікрорайону, хто не пройшов медичний огляд.

Декартовий добуток. Нехай R і S - відношення арності k₁ і k₂ відповідно. Тоді декартовим добутком відношень R і S називається множина кортежів довжини (k₁ + k₂), перші k₁ компонентів яких утворюють кортежі, які належать R, а останні k₂ - кортежі, що належать S.

Наприклад:

Таблиця 9.6

Декартовий добуток відношень СТУДЕНТИ

Результатом декартового добутку відношень СТУДЕНТИ (Табл. 9.6) та ЕКЗАМЕНИ (Табл. 9.7) буде відношення ЕКЗАМЕНАЦІЙНА ВІДОМІСТЬ (Табл. 9.8).

Таблиця 9.7

ЕКЗАМЕНИ

Таблиця 9.8

ЕКЗАМЕНАЦІЙНА ВІДОМІСТЬ

Селекція. Нехай F - формула, яка може бути утворена такими засобами: а) операндами, які є константами чи номерами компонентів; б) арифметичними операторами порівняння <, =, >, ; в) логічними операторами & (І), (АБО), (НІ).

В цьому випадку E_f (R) є множина кортежів t, які належать R, таких, що при підстановці i-го компонента t замість будь-якого входження номера i в формулу F для всіх i вона стане істиною. Наприклад, E_{2 > 3} (R) означає множину кортежів, що належать R, другий компонент яких більше третього компонента.

Таблиця 9.9

Відношення

При реалізації селекції відношення, приведеного в табл.9.9, згідно з ознакою (вік > 20), отримуємо відношення (табл.9.10):

Таблиця 9.10

Відношення, над яким виконано операцію селекції

Крім перерахованих операцій існують і інші, але їх можна отримати з п’яти основних.

Розглянемо неосновні операції перетину та ділення.

Перетин R S двох відношень R та S знаходиться згідно формул (R - (R - S)). Нехай R та S є відношення арності r і s відповідно, де (r > s) і S { }. Тоді частка R S є множина кортежів t довжини (r - s) таких, що для всіх кортежів u довжини s, які належать S, кортеж tu належить R. Виконаємо операцію ділення над відношеннями, які подані відповідно таблицями 9.11 та 9.12.

Таблиця 9.11

Екзаменаційна відомість

Таблиця 9.12