24.1 Задача Бюффона как пример использования случайных величин при решении детерминированной задачи.

В 18в. француз Граф Бюффон прадложил для вычисления с произволбным количеством знаков использовать наблюдение за следующим процессом.

Тонкая игла длинной 2l бросается случайным образом на поверхность разлинованную с шагом 2d.

Тогда ситуация пересечение иглы с линией будет соответствовать тому, что точка с координатой ( ) будет лежать в заштрихованной области.

Рассмотрим углы от 0 до в силу симметричности.

Таким образом рассмотрим прямоугольную область .

И рассмотрим область лежащая ниже , то вероятность возникновения пересечения будет равна отношению . В математическом плане если выбираем без предпочтения координату от 0 до и координату y из интервала , то это соответствует произвольной точки , и если выполняется условие , то точка будет находиться в точке .

Величины:

=

=

Тогда .

Как известно при увеличении следует что: , где есть частота появления события. n-кол-во опытов, m-кол-во пересечений иглы с линией

При увеличении n получаем значение с большим количеством знаков.

Реализация в Mathcad: runif(a,b,N) – выдаёт n случайных величин с равномерном законом распределения. На отрезке от 0 до W – rnd(W).

Алгоритм:

1.Задать число экспериментов n и ограничить цикл от 0 до n(что будет соответствовать n опытов).

2.Обращаемся к функции runif(0, ,N).

3.Генерировать случайные величины от 0 до t.

4.Проверить выполнения неравенства . Если выполняется то n+1.

5.После проверки используем функцию