16.2 Тригонометрическое интерполирование

Алгебраическая интерполяция в качестве базисных функций использует мономы. Если же интерполируемая функция является периодической, то уместно в качестве базисных функций выбирать периодические функции. Будем рассматривать ситуацию, когда f(x), которую следует приблизить является периодической на интервале [a,b]. Пусть узлы являются равностоящими, т.е.:

В качестве базисных функций используем: cos 0 x, sin 0 x, cos 1 x, sin 1 x,………cos k x, sin k x.

Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполируемого полинома вида *(1) , удовлетворяющего условию: . Можно показать, что коэффициенты интерполяционного полинома

Удовлетворяют условию *(2) вычисленных по формулам:

Достаточно строгого класса функции, чтобы утверждать, что при увеличении N ошибка интерполирования стремится к нулю. Формулы *(4) можно распространять и на функции интерполирования на случаи периодической функции на отрезке [a,b] с периодом