11.2Интерполирование, алгебраическое интерполирование, классический подход

Интерполирование – это вид приближения, если приближенную функцию обозначить , то для таблицы из n точек , необходимо потребовать выполнения условия:

Понятно, что в такой общей постановке решением задачи может оказаться бесконечное решение функций, поэтому, чтобы сделать задачу определенной, необходимо сузить класс подбираемых функций. Как было рассмотрено выше, при наличии определенной информации следует подбирать приближенную функцию так, чтобы она согласовывалась с приближаемыми данными.

Если же такой информации нет, то одним из способов выбора является выбор полинома в качестве приближаемой функции. В этом случае интерполяцию называют алгебраической.

Будем искать интерполянт в виде полинома степени не выше(n-1).

(1)

Тогда условие (1) примет вид:

(2)

Понятно, что вид интерполирующего полинома полностью определяется набором коэффициента.

Рассмотрим следующее утверждение:

Пусть в n попарно-различных точках заданы числа , тогда существует единственный полином степени не выше (n-1), удовлетворяющий условию (*).

Доказательство:

Запишем это условие в каждой точке

Здесь - неизвестные, а правые части известны:

(4)

Эта матрица специального вида - матрица Вандерманда. Для нее легко показать, что определитель этой матрицы отличен от нуля, но если это так, то система (4) имеет единственное решение.

Следствием этого утверждения является то, что вид интерполирующего полинома не зависит от способа его построения. А сам ход рассмотренных рассуждений дает один из способов построения такого полинома.

Рассмотренный способ называется классическим, т.к. в силу единственности интерполяционного полинома, каким бы способом его не строили, результат будет один и тот же.