11.1 Методика получения модели механических колебательной системы сосредоточенными параметрами на основе уравнений Лагранжа 2-ого рода
Во многих случаях при моделировании механических систем приемлемы предположения о том, что масса системы сосредоточена лишь в конечном числе точек, соединенных между собой элементами типа пружин (элементы, накапливающие потенциальную энергию) и типа "демпфер" (элемент, рассеивающий энергию), в этом случае математическая модель, описывающая повеление рассматриваемой системы представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Рассмотрим следующий пример.
x1(t) и x2(t) – смещение относительно положения равновесия соответственно 1-й и 2-й массы; C1 и C2 - жесткости пружин x2(t) x1(t) C2 C1 M2 M1
времени по закону P(t), движутся два груза (рис.1).
Д ля построения математической модели следует воспользоваться уравнениями Лагранжа 2-го рода, которые приводят к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка [1].
З десь x1(t) и x2(t) - смещения относительно положения равновесия соответственно 1-й и 2-й массы;
- скорости смешений относительно положения равновесия соответственно 1-й и 2-й массы, где t - время;
Т - кинетическая энергия системы; П - потенциальная энергия системы.
В качестве 1 - й и 2- й степеней свободы примем x1 и x2.
Тогда уравнения примут вид:
Выполнение этого этапа базируется на использовании знаний курса теоретической механики. Подробности можно найти в книгах [1,2]. Результатом выполнения этого этапа являются уравнения. движения механической системы. Их подробный вывод следует привести в отчете.
Системы с рассредоточенными параметрами- в этой ситуации неизвестные величины(напр. Перемещение точек) являются уже функ-ми нескольких переменных. Поведение таких систем чаще всего описывается ДУЧП. Виды: 1)Метод граничных элементов 2)Метод конечных элементов 3) Метод сеток.
- 1.1 Понятие о моделировании.
- 1.2 Системы массового обслуживания
- 2.1. Виды моделирования.
- 2.2Моделирование простейшей одноканальной системы смо
- 3.1. Математическое моделирование. Источники ошибок. Необходимость тестирования.
- 3.2 Простейший поток событий
- 4.1 Необходимость тестирования компьютерных моделей.
- 4.2. Замкнутые смо
- 5.1. Сравнение некоторых пакетов, расчетов и моделирований.
- 5.2. Открытая смо
- 6.1 Примеры задач приводящих к необходимости решения дифференциальных уравнений.
- 6.2 Понятие о конкурирующих стратегиях. Пример алгоритма для выбора рациональной стратегии.
- 7.1 Сведение произвольной системы оду произвольного порядка к системе оду 1-го порядка.
- 7.2 Приближение инженерных данных. Виды приближений.
- Поточечное среднеквадратическое приближение.
- Непрерывное приближение в среднеквадратичном смысле.
- Равномерное приближение.
- 8.1 Примеры сведения дифференциальных уравнений и их систем произвольного порядка к системе оду 1-го порядка в канонической форме Коши.
- 8.2. Интерполирование. Аппроксимация методом наименьших квадратов. Равномерное приближение. Поточечная аппроксимация табличных данных по методу наименьших квадратов.
- 9.1 Пример решения задачи о колебаниях одно массовой системы на основе использования встроенной процедуры Rkadapt.
- 9.2 Разложение аппроксиматора по системе базисных функций. Сведение задачи аппроксимации к системе лау.
- 10.1 Математическое моделирование механических колебательных систем со сосредоточенными параметрами .Системы с распределенными и сосредоточенными параметрами.
- Пример использования разложения аппроксиматора по базисным функциям в виде мономов.
- 11.1 Методика получения модели механических колебательной системы сосредоточенными параметрами на основе уравнений Лагранжа 2-ого рода
- 11.2Интерполирование, алгебраическое интерполирование, классический подход
- 12.1 Пример получения математической модели для двух массовой колебательной системы
- 12.2 Интерполирование на основе формулы Лагранжа
- 13.1 Математическая модель колебательной системы с вращательными степенями свободы
- 13.2 Пример документа MathCad реализующий поточечную среднеквадратичную аппроксимацию
- 14.1 Некоторые примеры MathCad для решения различных задач
- 14.2 Остаточный член формулы Лагранжа, пример оценки точности интерполирования с использованием остаточного члена
- 15.1 Пошаговые методы решения задачи Коши
- 15.2 О наилучшем выборе узлов интерполирования
- 16.1 Метод Эйлера для решения задачи Коши, реализация этого метод в среде MathCad
- 16.2 Тригонометрическое интерполирование
- 17.1 Модификация метода Эйлера для решения задачи Коши
- 17.2 Использование интерполирования при решении различных задач и реализация в среде MathCad
- 18.1 Метод типа Рунге-Кутта для решения задачи Коши
- 18.2 Использование встроенных функций для линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов
- 19.1 Связь модифицированных методов Эйлера и методов Рунге-Кута второго порядка для решения задачи Коши
- 19.2 Понятие о сплайнах
- 20.1 Метод Рунге-Кута 4-ого порядка для решения задачи Коши формулы метода и их реализация в среде MathCad
- 20.2 Определение сплайна. Дефект сплайна, пример линейного сплйна
- 21.1.Оценка погрешности решения оду. Способ Рунге для оценки такой погрешности.
- 21.2 Кубический сплайн дефекта 2 (или сплайн Эрмита).
- 22.1 Метод стрельбы
- 22.2 Кубические сплайны дефекта 1
- 23.1 Использование случайных величин при моделировании различных явлений и процессов
- 23.2 Алгоритм «прогонка» для решения системы линейных уравнений с диагональным преобладанием.
- 24.1 Задача Бюффона как пример использования случайных величин при решении детерминированной задачи.
- 24.2 Пример использования сплайна для приближенного интегрирования функции
- 25.2 Использование параметрических сплайнов для интерполирования кривых
- 26.1 Пример реализации метода типа Монте-Карло в среде Mathcad для вычисления площади произвольной фигуры
- 26.2 Параметрический Эрмитов кубический сплайн.
- 27.1 Основные виды моделирования их преимущества и недостатки
- 27.2 Рациональные сплайны.
- 28.1 Декомпозиция и диакоптика
- 28.2Параметрический рациональный сплайн.
- 29.1 Понятие о компонентных и топологических уравнениях
- Механическая поступательная система.
- 29.2 О выборе узлов сетки при интерполировании различными сплайнами
- 30.1 Примеры получения эквивалентах схем для механических поступательных систем
- 30.2 Узловой метод построения математической модели