2.2 Общие методы построения математической модели

Общий подход к построению модели для решения задачи исследования системы:

Математическая модель существует в виде «модель-алгоритм-программа»: исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные „опыты“, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.

Пусть мы собираемся исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта a с помощью вычислительного эксперимента (здесь термин объект понимается в наиболее широком смысле: объектом может служить и любая ситуация, явление, процесс и т.д.). Для этого мы выбираем (строим) „математический объект“ a' — систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т. д.,— исследование и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S. В этих условиях a' называется математической моделью объекта a относительно совокупности S его свойств.

В технологии моделирования традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все ее параметры считаются известными, главная задача — провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Типичные примеры прямой задачи: какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости, или на ветер), как самолет преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера?

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение).

Одним из первых примеров решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

Разработчики моделей находятся под действием двух взаимно противоречивых тенденций: стремления к полноте описания и стремления к получению требуемых результатов возможно более простыми средствами. Достижение компромисса ведется обычно по пути построения серии моделей, начинающихся с предельно простых и восходящих до высокой сложности (существует известное правило: начинай с простых моделей, а далее усложняй). Простые модели помогают глубже понять исследуемую про­блему. Усложненные модели используются для анализа влияния различных факторов на результаты моделирования. Такой анализ позволяет исключать некоторые факторы из рассмотрения.

Создание математической модели преследует две основные цели:

- дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы для однозначности их понимания;

- попытаться представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое исследование системы.

Единой методики построения математических моделей не существует. Это обусловлено большим разнообразием классов систем.

Построение модели, отражающей статику системы (состав компонентов и структуру связей) не вызывает больших затруднений. Для динамической системы статику необходимо дополнить описанием работы системы во времени.

Как разделить модель на подмодели, как построить иерархию моделей для исследования элементов (декомпозиция) и как их потом объединить для исследования системы в целом, чтобы объяснить целое через частности – основная проблема моделирования.

Абстрагирование - упрощенное описание системы, при котором отделяются самые существенные для исследования системы свойства и особенности поведения от несущественных. В основе абстрагирования – минимизация связей.

Выбор правильного набора абстракций (сущности и поведения) для заданной предметной области представляет собой главную задачу неформализуемую задачу формирования модели.

Декомпозиция. Основная операция системного анализа (неформальная) – декомпозиция (разделение целого на части). Применительно к построению структуры модели – определение состава модели (компонентов).

Компонент – любая часть предметной области, которая может быть выделена как некоторая самостоятельная сущность. Это и система (модель) в целом, и любая часть системы (модели) – подсистема, элемент.

Основная сложность декомпозиции – определение базовых (неделимых) моделей компонентов, соотношение моделей микро- и макроподхода. В основе декомпозиции – достижение компромисса между полнотой набора формальных моделей рассматриваемой системы и простотой – он может быть достигнут, если в модель включаются только модели компонентов, существенных по отношению к цели моделирования.

При математическом моделировании сколько-нибудь сложного объекта описать его одной моделью для всестороннего исследования практически не удается, и если такая модель была бы построена, то она оказалась бы слишком сложной для количественного анализа.

Рассмотрение вместо самой системы (факта, явления, процесса, объекта) математической модели всегда несет идею упрощения – выявление существенного и отсекание несущественного (бритва Оккама^). Это позволит достичь необходимый компромисс между простотой описания и необходимостью учета многочисленных и разноплановых характеристик системы (проблема должна быть рассмотрена всесторонне и подробно) и простотой. Это неформальное действие – компромисс достигается после определения понятия существенности для данного исследования (степень влияния на результат).

Пример: оптимальное распределение инвестиций между предприятиями, при котором общий объем продукции был бы максимальным. Решение задачи зависит от принятого вида модели производства и вида модели целевой функции – в зависимости от этого оптимизационная задача может быть решена аналитически или методами имитационного моделирования.

Агрегирование представляет собой процесс, обратный декомпозиции – моделируется укрупненная система, количество рассматриваемых элементов сокращается (и соответственно связей).

Высокая степень агрегации (укрупненные объекты системы и основные связи между ними) дает возможность достаточно просто исследовать систему в целом, но при этом усложняется изучение каждого элемента (его структуры и связей), что может оказать влияние на исследование всей системы.

Низкая степень агрегации позволит достаточно подробно изучить каждый элемент, его структуру и связи, но при этом значительно усложнится изучение взаимодействия элементов и связей системы.

Агрегация может означать не только физическое вхождение одного объекта в другой, но и концептуальное. Самолет состоит из крыльев, двигателей, шасси и прочих частей. С другой стороны, отношения акционера с его акциями - это агрегация, которая не предусматривает физического включения.

Операция агрегирования используется для синтеза модели (построение структуры модели) и представляет собой установление отношений между компонентами - агрегатами (в данном случае – между компонентами модели).

Свойства агрегата не являются только совокупностью свойств его отдельных элементов – агрегат как система может обладать такими свойствами, которых нет ни у одного из составляющих его элементов (выражение закона диалектики – переход количества в качество).

Установление отношений может быть проведено различными способами: агрегацией, присоединением, построением функциональных зависимостей (формирование оператора), отражающих физические связи (потоки передачи вещества, энергии, информации), классификацией и др. (пространственные, временные отношения).

Отношение агрегации устанавливается между подсистемами (подмоделями), одна из которых включает в качестве составной части другую. Такое множество представляет собой дерево подсистем (подмоделей).

Отношение присоединения отражает возможность присоединения элемента к компоненте в качестве значения одного из атрибутов.

Отношение классификации устанавливает отношение эквивалентности между элементами системы (модели) – описывает условия образования классов.

Чтобы понять во всех тонкостях поведение сложной системы, используется не одна модель – процесс исследований становится итеративным. Каждая модель может описывать либо укрупнено всю систему, либо более подробно определенную часть системы. В процессе исследований оценивается поведение каждой модели в обычных и необычных ситуациях, затем проводятся соответствующие доработки моделей: укрупненные модели строятся на базе уточненных подробных моделей подсистем.