22.2 Кубические сплайны дефекта 1
Это сплайны, которые произошли от гибкой линейки чертёжника при этом в узлах непрерывна должна быть 1-ая и 2-ая производная.
уравнение изогнутой оси балки, когда заданы изгибные моменты в каждой точке. По аналогии 2-ые производные будем называть моментами.
Пусть в n попарно различных точках отрезка [a,b] a<x1<x2<x3….xn=b
y1=f(x1)…. Yn=f(xn)
непрерывен на [a,b] вместе с 1-ой и 2-ой производной, совпадает с кубическим полиномом на каждом из отрезков и удовлетворяет условиям i=1..n
Поскольку 2ая производная по условию в каждом узле непрерывна, то введя обозначения i=1,2…n и предположив, что меняется линейно на интервале можно записать (1)
Проинтегрируем дважды (1). Интегрирование будем выполнять со скобкой. Тогда после 1-го интегрирования получим (2)
А после второго интегрирования получим
(3)
Это выражение мы получили для отрезка , аналогичное выражение мы можем получить для предыдущего отрезка
(4)
Используя условие непрерывности 1-ой производной для узла xi
Для этого приравняем (2) при x=xi к выражению (4) при x=xi . В результате получим
(5)
(6)
(7) i=2,3…n-1
Т.е. мы получили n-2 линейных алгебраических уравнения относительно Mi
Для замыкания этой системы нужно задать 2 дополнительных уравнения. Эти уравнения можно получить используя условие на концах интервала [a,b] (краевые условия)
1.Периодический сплайн T=b-a.
При этом предполагается, что интерполируемая функция периодическая с T=b-a и поэтому сам сплайн тоже должен быть периодическим с таким же периодом. Запишем условия периодичности:
Тогда можно потребовать, чтобы уравнение (7) было справедливо и для i=n, а условие периодичности примет вид
Тогда уравнение (7) примет вид
(8)
2.Непериодический сплайн с заданными наклонами в т a и b
заданное число
заданное число
Запишем уравнение (2) при i=1
Если записать уравнение (3) при i=n
Тогда замыкающая система примет вид
(9)
Решив системы 8 и 9 можно найти неизвестные M1…..Mn и можем построить сплайн в соответствии с формулой (3)
В некоторых случаях более удобно записывать сплайн в виде набора коэффициентов кубических полиномов вида
, где
i=1,2..n-1
- 1.1 Понятие о моделировании.
- 1.2 Системы массового обслуживания
- 2.1. Виды моделирования.
- 2.2Моделирование простейшей одноканальной системы смо
- 3.1. Математическое моделирование. Источники ошибок. Необходимость тестирования.
- 3.2 Простейший поток событий
- 4.1 Необходимость тестирования компьютерных моделей.
- 4.2. Замкнутые смо
- 5.1. Сравнение некоторых пакетов, расчетов и моделирований.
- 5.2. Открытая смо
- 6.1 Примеры задач приводящих к необходимости решения дифференциальных уравнений.
- 6.2 Понятие о конкурирующих стратегиях. Пример алгоритма для выбора рациональной стратегии.
- 7.1 Сведение произвольной системы оду произвольного порядка к системе оду 1-го порядка.
- 7.2 Приближение инженерных данных. Виды приближений.
- Поточечное среднеквадратическое приближение.
- Непрерывное приближение в среднеквадратичном смысле.
- Равномерное приближение.
- 8.1 Примеры сведения дифференциальных уравнений и их систем произвольного порядка к системе оду 1-го порядка в канонической форме Коши.
- 8.2. Интерполирование. Аппроксимация методом наименьших квадратов. Равномерное приближение. Поточечная аппроксимация табличных данных по методу наименьших квадратов.
- 9.1 Пример решения задачи о колебаниях одно массовой системы на основе использования встроенной процедуры Rkadapt.
- 9.2 Разложение аппроксиматора по системе базисных функций. Сведение задачи аппроксимации к системе лау.
- 10.1 Математическое моделирование механических колебательных систем со сосредоточенными параметрами .Системы с распределенными и сосредоточенными параметрами.
- Пример использования разложения аппроксиматора по базисным функциям в виде мономов.
- 11.1 Методика получения модели механических колебательной системы сосредоточенными параметрами на основе уравнений Лагранжа 2-ого рода
- 11.2Интерполирование, алгебраическое интерполирование, классический подход
- 12.1 Пример получения математической модели для двух массовой колебательной системы
- 12.2 Интерполирование на основе формулы Лагранжа
- 13.1 Математическая модель колебательной системы с вращательными степенями свободы
- 13.2 Пример документа MathCad реализующий поточечную среднеквадратичную аппроксимацию
- 14.1 Некоторые примеры MathCad для решения различных задач
- 14.2 Остаточный член формулы Лагранжа, пример оценки точности интерполирования с использованием остаточного члена
- 15.1 Пошаговые методы решения задачи Коши
- 15.2 О наилучшем выборе узлов интерполирования
- 16.1 Метод Эйлера для решения задачи Коши, реализация этого метод в среде MathCad
- 16.2 Тригонометрическое интерполирование
- 17.1 Модификация метода Эйлера для решения задачи Коши
- 17.2 Использование интерполирования при решении различных задач и реализация в среде MathCad
- 18.1 Метод типа Рунге-Кутта для решения задачи Коши
- 18.2 Использование встроенных функций для линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов
- 19.1 Связь модифицированных методов Эйлера и методов Рунге-Кута второго порядка для решения задачи Коши
- 19.2 Понятие о сплайнах
- 20.1 Метод Рунге-Кута 4-ого порядка для решения задачи Коши формулы метода и их реализация в среде MathCad
- 20.2 Определение сплайна. Дефект сплайна, пример линейного сплйна
- 21.1.Оценка погрешности решения оду. Способ Рунге для оценки такой погрешности.
- 21.2 Кубический сплайн дефекта 2 (или сплайн Эрмита).
- 22.1 Метод стрельбы
- 22.2 Кубические сплайны дефекта 1
- 23.1 Использование случайных величин при моделировании различных явлений и процессов
- 23.2 Алгоритм «прогонка» для решения системы линейных уравнений с диагональным преобладанием.
- 24.1 Задача Бюффона как пример использования случайных величин при решении детерминированной задачи.
- 24.2 Пример использования сплайна для приближенного интегрирования функции
- 25.2 Использование параметрических сплайнов для интерполирования кривых
- 26.1 Пример реализации метода типа Монте-Карло в среде Mathcad для вычисления площади произвольной фигуры
- 26.2 Параметрический Эрмитов кубический сплайн.
- 27.1 Основные виды моделирования их преимущества и недостатки
- 27.2 Рациональные сплайны.
- 28.1 Декомпозиция и диакоптика
- 28.2Параметрический рациональный сплайн.
- 29.1 Понятие о компонентных и топологических уравнениях
- Механическая поступательная система.
- 29.2 О выборе узлов сетки при интерполировании различными сплайнами
- 30.1 Примеры получения эквивалентах схем для механических поступательных систем
- 30.2 Узловой метод построения математической модели