19.1 Связь модифицированных методов Эйлера и методов Рунге-Кута второго порядка для решения задачи Коши

Методы второго порядка.q=1,∆y≈Ao*ϕо +Aо*ϕ1,в этой ситуации у нас есть параметры α1,β10,Ао,А1. Можно показать, что эти четыре величины оказываются связанными между собой следующей системой нелинейных уравнений :

как видно количество уравнений меньше числа неизвестных ,это позволяет положить один из параметров равным какому-то значению, а остальные три определить через него

α₁= β₁₀=1/2А₁,

A_о=1- A₁,

А₁=1/2,

А_о=1/2,

α₁= β₁₀=1,

∆y≈A_o*ϕ_о +A₁*ϕ₁,

ϕ_о=h*f(x,y),

ϕ₁=h*f(x+h,y+ ϕ_о),

Пусть A₁=1,A₀=0, α₁= β₁₀=1/2, тогда

∆y≈ ϕ1,

ϕ_о=h*f(x,y),

ϕ₁=h*f(x+h,y+ ϕ_о) это другая модификация метода Эйлера.

Могут быть получены и др. формулы метода второго порядка, и как видно модификации метода Эйлера-частные случаи метода Рунге-Кутта. Приведем систему уравнений для методов 3-го порядка.

q=2

A₁+A₂+A₀=1,

A₁* α₁+A₂* α₂=1,

A₁* α₁+A₂* α₂=1/3,

A₂* α₁* β₂₁=1/6,

β₂₀+ β₂₁= α₂,

β₁₀= α₁,

∆y≈1/6(ϕ_о+ 4* ϕ₁+ ϕ₂),где ϕ_о=h*f(x,y),

ϕ₁=h*f(x+h/2,y+ ϕ_о/2),

ϕ2=h*f(x+h,y- ϕ_о + 2ϕ₁),

∆y≈ ( ϕ₀+3 ϕ₂),

ϕ_о=h*f(x,y),

ϕ₁=h*f(x+h/3,y+ ϕ_о/3),

ϕ₂=h*f(x+2/3*h,y- ϕо + 2/3*ϕ1)