Пример 2: Движение в поле тяготения

Движение тела массой m₁ в поле тяготения массивного тела М происходит под действием гравитационной силы:

(9)

Где - радиус-вектор между взаимодействующими телами (направлен кm₁), -гравитационная постоянная. Будем считать, чтоM >> m₁. Тело массой М в таком случае является неподвижным центром тяготения. Тогда уравнение движения тела массой m₁:

(10)

Совместим начало системы координат (0, 0) с центром масс массивного тела М. Тогда уравнение (10) в проекциях будет иметь вид:

(11)

где x, y – координаты тела массой m_1, .

После замены переменных из (11) получается система ОДУ первого порядка:

(12)

Для численного интегрирования этой системы записываем схему Эйлера:

(13)

Удобно решать эту систему со следующими начальными условиями:

х(0) = х₀; y(0) = y₀ = 0; V_х(0) = V_х,0 = 0; V_y(0) = V_y,0 = V;

При этом тело массой m₁ будет двигаться против часовой стрелки вокруг массивного тела М по эллипсу, оси которого будут параллельны осям координат.

Планеты Солнечной системы, движения которых моделируются в задачах, движутся с периодами, измеряющимися годами, по орбитам, оси которых измеряются миллионами километров. Таким образом, моделирование «в реальном времени» представляется неразумным. Разумные времена и размеры орбит получаются, если взять γ = 1, М = 1200, х(0) = 30, V~5.

Если в задаче рассматривается движение вокруг тяготеющего центра М двух невзаимодействующих планет с массами m₁ и m₂, уравнение движения, подобное (10), записывается для каждого тела:

(14)

Если учитывать взаимодействие планет с массами m₁ и m₂ не только с Солнцем, но и друг с другом, необходимо учесть гравитационные силы взаимодействия между ними (см. рисунок). На первую планету со стороны второй действует сила:

(15)

Вектор имеет координаты и длину

(16)

Проекции силы на оси координат

(17)

На вторую планету со стороны первой действует сила . По третьему закону Ньютона:

(18)

(19)

Результат моделирования движения планет показан на рис.