Теория потенциалов. Несобственные интегралы зависящие от параметра.

Рассмотрим ограниченную область D с достаточно гладкой границей S D=S.

Рассмотрим функцию вида (1)

Пусть f всюду непрерывна вне D, а в D за исключением P=M r=PM.

Этот интеграл сходится абсолютно, если f(P,M)C/r² , 0  3

Определение. Интеграл (1) называется равномерно сходящимся в - целиком лежит в

выполняется

Теорема. Равномерно сходящийся в M₀ интеграл (1) является непрерывной функцией точки М в M₀ , то есть . (доказать самостоятельно)

Рассмотрим некоторую замкнутую достаточно гладкую поверхность S.

Рассмотрим Р₀ – точку поверхности. Выделим некоторую окрестность точки Р₀ радиуса _n , обозначим её  _n . Рассмотрим

Будем стягивать  _n к точке.

Определение. Интеграл (2) называется равномерно сходящимся в если

Теорема. Равномерно сходящийся в Р₀ интеграл (2) является функцией непрерывной в этой точке : . (без доказательства)

Пусть в некоторой точке Р(, , ) помещен точечный заряд q. Будем рассматривать M(x, y, z). Напряженность электрического поля, создаваемого зарядом q в точке М выражается формулой :

Нетрудно видеть, что проекции вектора напряженности является частными производными первого порядка.

Функцию u называют потенциалом электрического поля точечного заряда q.

Будем считать с  0.

В случае поля тяготения: в Р(, , ) помещена точечная масса m :

Будем рассматривать

Пусть имеется некоторая конечная область D, имеется в D равномерно распределенный заряд с плотностью (N). Тогда в любой точке М :

Таким образом функция V(M) определяет объемный потенциал.

Пусть

(2) – потенциал простого слоя.

Пусть 2 заряда q и –q находятся друг от друга на расстоянии h. Они начинают двигаться друг к другу.

l r

q M(x, y, z)

h P r

-q

Когда эти заряды стремятся сблизиться в некоторой точке Р .

Пусть в процессе движения заряд меняется qh = p

, где l – направление.

Рассмотрим ориентированную поверхность S – поверхность с распространенным равномерно диполем. (N) – плотность момента диполя.

Тогда потенциал электрического поля в точке М :

(3) - потенциал двойного слоя.

Перейдем к другому направлению вращения нормали:

имелась в виду внутренняя нормаль

Или имелась в виду внешняя нормаль