Функция Грина задачи Дирихле.

Для функции U(M) задача Дирихле U(M)=0

Введем :g – гармоническая в D.

Пусть

Применим к g и U вторую формулу Грина

т.к. U и g гармонические

Вычтем из :

В этой формуле присутствует только U на S.

Обозначим

(*)

- функция Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Определение. Функцией Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа называется функция удовлетворяющая условиям:

1. гармоническая в D, исключая точку .

2.в D функция G дополняет представление ,

где g - гармоническая в D

3. На границе (следует из (*)) - регулярная часть функции Грина.

Замечание. Для плоскости G имеет вид , тогда решение внутренней задачи Дирихле для плоскости

L – достаточно гладкая граница конечной области B

Для пространства решение внутренней задачи Дирихле

(9)