Потенциал объема и его свойства.

Сначала рассмотрим когда М вне D.

Будем считать, что (N) интегрируема в D.

При удалении М от области D Р -произвольная точка,

R – расстояние от начала координат.

Поместим начало координат в точку О, , d-диаметр D.

Будем считать, что М на столько удалена от D, что

Обратим внимание, что

Когда МD, V- имеет непрерывные частные производные первого порядка, второго и т.д.

т.е. V- непрерывно, имеет непрерывные частные производные, удовлетворяет уравнению Лапласа и стремится на бесконечности к 0, т.е. V – гармонично вне D, когда МD.

Пусть МD .

Покажем, что в случае, если (N)<C , то V- непрерывна внутри D, т.е. интеграл сходится равномерно во внутренних точках.

Выделим  окрестность () то, - окрестности

т.о. интеграл сходится равномерно в любой внутренней точке M₀, а отсюда являющейся U(M) непрерывной, при МD.

Теорема. Если - плотность объемного потенциала – ограничена в , то потенциал объема (1) является функцией, непрерывной вместе с частными производными 1 порядка во всем пространстве. Эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.

Доказательство.

Рассмотрим 2-е производные объемного потенциала в .

Выделим в вокруг точки шар радиуса и обозначим эту область . Обозначим поверхность сферы, ограничивающей шар через

;

Будем считать, что (N) – дифференцируема в D и соответственно и в D₁.

Преобразуем первый интеграл по формуле Остроградского :

Найдем вторую производную :

Тогда

Воспользуемся теоремой о среднем :

Теорема. Если плотность объемного потенциала (N) непрерывна в области D и непрерывны первые производные, то объемный потенциал (1) в D имеет непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет внутри D уравнению Пуассона.

Замечание. Если имеется уравнение Пуассона , то внутри D это уравнение имеет частное решение

Поверхностные потенциалы.

Замкнутая поверхность S называется поверхность Ляпунова, если выполнены следующие условия :

1. для каждой точки M  S существует определенная касательная плоскость.

2.  d > 0 : N  S сфера радиуса d или меньшего, проведенная из N, делит поверхность на 2 части, одна лежит внутри сферы, другая – вне, при этом прямые параллельные нормали в точке N пересекают часть поверхности в одной точке.

3. Пусть  – острый угол между нормалями, проведенными в двух произвольных точках поверхности S, r – расстояние между этими точками, то  2 числа a > 0,

0 <  <1, такие, что для любых точек .

Таким образом второе условие обеспечивает нам , чтобы z = f(x, y).

Третье условие обеспечивает непрерывность производных.

В дальнейшем будем считать все поверхности поверхностями Ляпунова.

Будем рассматривать потенциал двойного слоя :

MN₀ изнутри или извне, и  предельное внутреннее значение и если  равный конечный предел внешнее выделенное значение.

Если плотность потенциала двойного слоя - непрерывна, то предельные значения потенциала  и имеют место формулы.

Замечание. Потенциал двойного слоя равномерно стремится к своим предельным значениям изнутри и извне

Теорема. Рассмотрим потенциал простого слоя:

Потенциал простого слоя с непрерывной плотностью- функция, непрерывная во всем пространстве.

Доказательство:

Рассмотрим случай когда МS. Если  - непрерывна во всем пространстве, МS, то подынтегральная функция непрерывна, то интеграл по конечной области от непрерывной функции являются функцией непрерывной, пусть .

Построим в ней систему координат.

Зададим >0. Зададим вокруг N₀

некоторую достаточно малую окружность .

Обозначим через , часть поверхности S попавшую в  окрестность .

Пусть М- произвольная точка из  окрестности. .Обозначим через проекцию , на плоскость xy.

Спроецируем М на xy и обозначим ее . Из проведем круг радиуса 2 - . будет целиком лежать в этом круге.

Будем считать, что  на столько маленькое, что cos >1/2.

Т.к. (N)- непрерывна, то она ограниченна в конечной области. Перейдем к полярным координатам.

интеграл сходится. Т.о. функция непрерывная.

Теорема интегрируемых преобразований.

Пусть дана некоторая функцияf(x), если задан некоторый интервал [a,b] и известна функция двух переменных К(x,), то

(1) называется интегрируемым преобразованием

К(x,) – ядро интеграла преобразования, а [a,b] интервалом интегрируемого преобразования.

(2), если имеется интеграл преобразования.

Если , то соответственно интеграл преобразования называется преобразованием Фурье.

Если (3) это обозначение преобразования Фурье

Если исходная функция f(r) является интегрируемой на (-, +) (f(r)  L_{(-, +)}) и интеграл сходится абсолютно (при этом ~ ) При этом обращение преобразования Фурье задается формулой.

Свойства преобразования Фурье.

1.

2. Найдем

3.

4.

5.

Пример. Рассмотрим задачу о свободном колебании струны.

Будем считать, что  и  L_{(-, +)}, то есть интегрируем u L_{(-, +)}

Применим к уравнению и начальным условиям преобразование Фурье по переменной х.

Таким образом мы пришли к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

Решение уравнения (5) запишется в виде :

Рассмотрим этот интеграл:

Пример 2. Рассмотрим задачу о распространении тепла в бесконечном стержне

Преобразование Фурье от разрывных функций.

Пусть дана функция f(x) вида ( )

f+

f-

X₀

т.о. если

Определение. Сверткой двух функций f(x) и g(x) на (-,+) ( ) называется

f*g=

Предложение. Если две функции , причем

, тогда

Действительно:

Преобразование Фурье от константы.

F(x)=1/2=const

По свойству  - функции

Преобразование Фурье по нескольким переменным.

Если имеется ,

Если

Интегральные преобразования на полупрямой.

При это преобразование называется синус-преобразование Фурье.

(2) – косинус-преобразование Фурье

f(x) должна быть абсолютно интегрируемой на [0, +)

Свойства преобразований Фурье на полупрямой.

1.

2.

(проверить самостоятельно)

3.

4. Свойство сверток. - соответствующие преобразования Фурье функций f(x) и g(x).

Действительно :

Модуль появился, так как косинус – четная, а по определению аргумент должен быть больше 0.

Если - соответственно синус- преобразования Фурье f(x) и g(x) .

(самостоятельно)

Пример. Рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях полуограниченной струны.

В случае (*) – синус-преобразование Фурье.

В случае (**) – косинус-преобразование Фурье.

Применим к уравнению синус-преобразование Фурье.

При t=0

Пример2. Рассмотрим процесс теплообмена в полуограниченном стержне, если начальная температура равна 0, а на конце поддерживается постоянный температурный режим.

Применим искусственное преобразование Фурье.

Воспользуемся тем, что

Преобразование Лапласа.

(1) преобразование Лапласа

где сходится.

Отметим условия которые накладываются на f(t) как следствие из свойств F(p)

1. если F(p) – аналитическая функция комплексной переменной

и является преобразованием Лапласа, для f(t) такой, что f(t) непрерывна

Если функция имеет преобразования Лапласа, то оно единственно.

Если две функции имеют одинаковые преобразования Лапласа, то они различны на множестве точек меры О.

не трудно показать, что

Пусть имеются две функции f(t) и g(t) , t0, и соответственно F(p) и G(p) – их преобразования Лапласа, то справедливо соотношение:

Действительно:

В для случая t>y внутренний интеграл образует преобразование для f(t-y).

Пример. Рассмотрим применение преобразования Лапласа к задаче колебания полуограниченной струны

Применим к уравнению преобразование Лапласса

т.о. уравнение примет вид где

Тогда

Преобразования Ханнеля (Бесселя).

Преобразованием Ханнеля называют интегральное преобразование на интервале 0,) и ядром т.е. если задана f(r) r0,) , f(r)L0,), то для нее существует функция Бесселя первого рода порядка .

Будем рассматривать >0 либо =-n , nZ

Для =1 ,

Рассмотрим двух мерное преобразование Фурье функции f(x,y) , fL(-,)

Пусть

т.о. в случае осевой симметрии

Образуется преобразование Фурье:

Интеграл преобразования на конечных интервалах.

Рассмотрим f(x) ,x0,. В этом случае

если x0,a, то

Пример. Применим конечное преобразование Фурье к задаче о колебании струны с закрепленными концами.

обозначим

учитывая что

В случае если надо перейти от уравнения с частными производными к уравнению на единицу меньше, то можно применить преобразование Фурье.

Сведение краевых задач эллиптического типа интегральных уравнений.

Метод граничных интегральных уравнений.

Некоторые сведения из теории интегральных уравнений.

Рассмотрим некоторую S- замкнутую гладкую поверхность.

Линейное интегральное уравнение второго рода уравнение вида

(1 )

-первого рода

Уравнение (1) уравнение Фредгольма, если

- интегрируема с квадратом

имеет конечное значение

Ядро К- ядро со слабой особенностью, если К представимо в виде

(*)

Рассмотрим

(2)

(2) сопряжено уравнению к (1)

Теорема 1 Фредгольма (альтернатива). Если  не является характеристическим числом интегрируемого уравнения (1), то уравнение (1) и сопряженное к нему уравнение (2) разрешимы в классе функций интегрируемых с квадратом при любых свободных членах, при этом соответствующие им однородное уравнение имеет только тривиальное решение.

Теорема 2 Фредгольма. Если значение  характеристическое число уравнения (1) или ядра, то однородное уравнение, соответствующее (1) и сопряжательно однородному уравнению имеют нетривиальное решение, при чем число их решений совпадает (оно конечно).

Теорема 3 Фредгольма. Для того чтобы (1) было разрешимо необходимо и достаточно, чтобы свободный член был ортогонален всем собственным функциям для данного  сопряженного интегрируемого уравнения.

Замечание. Все теоремы Фредгольма справедливы для уравнений с ядрами, имеющими слабую особенность.

Теорема 4 Фредгольма. Если в (1) f(M)C (непрерывна) и A(P,M)C (непрерывна), а само уравнение разрешимо, то его решение непрерывно.

Рассмотрим некоторую замкнутую поверхность S (поверхность Ляпунова – в любой точке существует нормаль).

Обозначим через D_i конечную область, ограниченную этой поверхностью и D_e -бесконечную область, ограниченную этой поверхностью. Рассмотрим задачу D для уравнения Лапласа.

1.Внутреняя задача.

U(M)=0 , M D_i (1)

Пусть на S задана f₁(M)C_S

(1’)

Будем искать внутреннее значение D в виде потенциала двойного слоя

Замечание. Не трудно убедится, что значение интеграла

Для того чтобы W была решением задачи (1) необходимо: N₀S.

. По теореме о разрывности потенциала второго слоя можно

Аналогично для внешней задачи надо потребовать:

Введем обозначения

(5) для внутренней

(6) для внешней

Рассмотрим задачу Неймана для уравнения Лапласа

W(M)=0 , M D_i (1)

(1’)

U(M)=0 , M D_{i (2)}

(2’)

Будем искать решение в виде потенциала простого слоя

Введем обозначения

Покажем, что К и К^* - сопряжены

сопряжены

(10) сопряжено к (5)

(9) сопряжено к (6)

Рассмотрим (10) и (5)

Рассмотрим =1 С_S

Покажем, что К и К^* имеют слабую особенность. Рассмотрим ядро К

-не имеет особенность в М-функция непрерывна имеем слабую особенность.

Рассмотрим (10) оно соответствует значению

Имеем дело с гармонической функцией

По теореме об однородности решения функции для внутренней задачи Дирихле

решение (10) только нулевое. - не характерное число. Внешняя задача Неймана разрешима для  непрерывных функций описывающих граничные условия.

Рассмотрим однородное уравнение, соответствие (6) для = -1. Подставим, получим

Очевидно, что решением этого уравнения является константа.

Покажем, что константа является простым решением соответствующего уравнения, т.е. =-1=1.

По теореме 2 Фредгольма соответствующее сопряженное однородное уравнение также при =1 имеет нетривиальное решение.

Рассмотрим сопряженное однородное уравнение.

(5*) пусть - некоторое нетривиальное решение этого уравнения не равное нулю.

Составим с потенциал простого слоя.

, но U гармоничная и во вне ее.

Допустим существования единственности собственного значения = -1.

, тогда . Аналогично рассуждая получим .

Составим функцию

решение внутренней задачи Дирихле:

Аналогично . Значит

линейно зависимы

(5*) имеет единственное решение, значит = -1 простое характеристическое число уравнения (9), а = -1 простое характеристическое число уравнения (6)

т.е. (6) имеет единственное решение =1,значит по теореме 3 Фредгольма уравнение (9) разрешимо при условии ортогональности свободного члена всем собственным функциям.

Тогда аналогично условие разрешимости для внешней задачи D:

Полученное условие связанно с тем, что искалось решение внешней задачи D в виде потенциала двойного слоя.

В то время как произвольная гармоническая функция ведет себя как C/R.

Рассмотрим решение внешней задачи D отыскивая ее в следующем виде

Следуя схеме, используемой на прошлой лекции, приходим к следующему интегральному уравнению для функции .

здесь ядро тоже со слабой особенностью. Исследуем однородное уравнение, соответствующее (11)

(12)

Покажем, что оно имеет не тривиальное решение

Решение внешней задачи Дирихле единственно

U=0 в

(12) принимает вид , подставим в (13)

Однородное уравнение (13) не имеет нетривиальных решений =1, следовательно неоднородное уравнение разрешено  правой части.

Исследование задачи теории потенциалов когда рассматриваемые области ограниченны несколькими линейными областями приводит к нескольким результатам.

Метод потенциала может применить и к другим краевым задачам. Рассмотрим задачу

Будем искать решение задачи в виде потенциала простого слоя, тогда воспользовавшись свойствами потенциала двойного слоя, получим

+ - внутренняя задача

- - внешняя задача

55