5.3.1. Основы спектрального (частотного) и статистического

анализа процессов

Основная задача спектрального анализа сигналов – выявление гармонического спектра этих сигналов, т.е. определение частот гармонических составляющих сигнала (выявление частотного спектра), амплитуд этих гармонических составляющих (амплитудного спектра) и их начальных фаз (фазового спектра).

А основе спектрального анализа лежит теория Фурье о возможности разложения любого периодического процесса с периодом (где - круговая частота периодического процесса, а f – его частота в герцах) в бесконечную, но счетную сумму отдельных гармонических составляющих.

Напомним некоторые положения спектрального анализа.

Прежде всего, любой периодический процесс с периодом Т может быть представлен в виде так называемого комплексного ряда Фурье:

(5.8)

причем комплексные числа , которые называюткомплексными амплитудами гармонических составляющих, вычисляются по формулам:

(5.9)

Таким образом, частотный спектр периодического колебания состоит из частот, кратных основной (базовой) частоте , т.е. частот:

(5.10)

Действительные и мнимые части комплексных амплитуд образуют соответственнодействительный и мнимый спектры периодического колебания. Если комплексную амплитуду (5.9) представить в экспоненциальной форме:

(5.11)

то величина будет представлять собой амплитуду гармонической составляющей с частотой, а- начальную фазу этой гармоники, имеющей форму косинусоиды, т.е. исходный процесс можно записать в виде:

(5.12)

который, собственно, и называют рядом Фурье.

Для действительных процессов справедливы следующие соотношения:

(5.13)

т.е. действительная часть спектра является четной функцией частоты, а мнимая часть спектра – нечетной функцией частоты.

Разложения (5.12) и (5.8) позволяет рассматривать совокупность комплексных амплитуд (5.9) как изображение периодического процесса в частотной области. Желание распространить такой подход на произвольные процессы, в том числе и непериодические, привело к необходимости ввода понятия Фурье-изображения в соответствии со следующим выражением:

(5.14)

Этот интеграл, несмотря на его внешнее сходство с выражением (5.9) для комплексных коэффициентов ряда Фурье, довольно существенно отличается от них.

Во-первых, в то время как физическая размерность комплексной амплитуды совпадает с размерностью самой физической величины , размерность Фурье-изображения равна размерности, умноженной на размерность времени.

Во-вторых, интеграл (5.14) существует (является сходящимся к конечной величине) только для так называемых «двусторонне затухающих» процессов (т.е. таких, которые уменьшаются до нуля как при , так и при. Иначе говоря, его нельзя применять к так называемым «стационарным» колебаниям.

Обратное преобразование Фурье-изображения в исходный процесс в этом случае определяется интегралом:

(5.15)

который представляет собой некоторый аналог комплексного ряда Фурье (5.1).

Указанное серьёзное противоречие несколько сглаживается при численных расчетах, так как в этом случае можно иметь дело только с процессами ограниченной длительности, причем сам процесс в заданном диапазоне времени должен быть задан своими значениями в ограниченном числе точек.

В этом случае интегрирование заменяется суммированием, и вместо вычисления интеграла (5.14) ограничиваются вычислением суммы:

(5.16)

Тут по сравнению с интегралом (5.14) осуществлены такие замены:

• непрерывный интеграл приближенно заменен ограниченной суммой площадей прямоугольников, одна из сторон которых равна дискрету по времени , с которым представлены значения процесса, а вторая – мгновенному значению процесса в соответствующих момент времени;

• непрерывное время заменено дискретными его значениями, где- номер точки от начала процесса;

• непрерывное значение частоты заменены дискретными ее значениями, где- номер значения частоты, а дискрет частоты равен, где, в свою очередь- промежуток времени, на котором задан процесс;

• дифференциал заменен ограниченным приращение времени.

Если обозначить дискрет времени t через Ts, ввести обозначения:

;

а также учесть то, что число точек, в которых задан процесс, равно:

(5.17)

то соотношение (5.15) можно представить в более удобной форме:

(5.18)

Как было отмечено в разд. 1.4.5 (формулы (2) и (3)), процедуры MatLAB fft и ifft осуществляют вычисления в соответствии с формулами:

(5.19)

(5.20)

соответственно. Сравнивая (5.18) с (5.19), можно сделать вывод, что процедура fft находит дискретное Фурье-изображение заданного дискретного во времени процесса , поделенное на дискрет времени:

(5.21)

Осуществляя аналогичную операцию дискретизации соотношения (5.9) для комплексной амплитуды , получим:

(5.22)

Из этого следует, что комплексный спектр разложения стационарного процесса равен поделенному на число измерений результату применения процедуры fft к заданному вектору измеренного процесса.

Если же принять во внимание, что для большинства стационарных колебательных процессов именно частотный, амплитудный и фазовый спектры не зависят от длительности Т конкретной реализации и выбранного дискрета времени Ts, то надо также сделать вывод, что для спектрального анализа стационарных процессов наиболее целесообразно применять процедуру fft, результат которой делить затем на число точек измерений.

Перейдем к определению спектральной плотности мощности (СПМ), или, сокращенно, спектральной плотности (СП). Это понятие в теории определяется как Фурье-изображение так называемой корреляционной функции и применяется, в основном, для двух одновременно протекающихстационарных процессов и. Взаимная корреляционная функция (ВКФ) двух таких процессов определяется соотношением:

(5.23)

т.е. ВКФ является средним во времени значением произведения первой функции на сдвинутую относительно нее на время задержки  вторую функцию.

Итак, взаимная спектральная плотность (ВСП) двух стационарных процессов может быть определена следующим образом:

(5.24)

При числовых расчетах, когда оба процесса изаданы на определенном ограниченном промежуткевремени своими значениями в некоторых точках, разделенных дискретом времениTs, формулу (5.23) можно трансформировать в такую:

(5.25)

или в несколько более простое соотношение:

(5.26)

а вместо (5.24) использовать

(5.27)

Если теперь подставить выражение (5.26) в (5.27) и изменить в нем порядок суммирования, то можно прийти к такому соотношению ВСП и результатами преобразований процедурой fft заданных измеренных значений процессов:

(5.28)

где черта сверху означает комплексное сопряжение соответствующей величины.

С учетом (5.21) и (5.22) можно представить также в виде:

(5.29)

Из этого следует, что взаимная спектральная плотность двух процессов при любом значении частоты равна произведению значения комплексного спектра второго процесса на комплексно-сопряженное значение Фурье-изображения первого процесса на той же частоте.

Формулы (5.21), (5.22) и (5.28) являются основой для вычислений в системе MatLAB соответственно Фурье-изображения процесса, его комплексного спектра и взаимной спектральной плотности двух процессов.