5.1. Интеллектуальные системы, основанные на нечеткой логике

Описанные выше положения можно применять для логического вывода утверждений.

Пример.

Известно: что x  А, А  В,

тогда в соответствии с аксиомой вывода: х  В.

Пусть А – множество народных депутатов, а В – множество пользующихся правом бесплатного проезда в общественном транспорте.

Тогда утверждение А  В трансформируется в правило вывода: «Если лицо является народным депутатом, то оно пользуется правом бесплатного проезда в общественном транспорте».

Если множества не сравнимы непосредственно, может потребоваться дополнительное функциональное преобразование, которое позволит рассматривать одно множество как подмножество другого [2].

Нечеткое правило можно сформулировать как условное высказывание: «если X есть A, то Y есть B», где A и B нечеткие множества. На языке математики это записывается в виде упорядоченной пары

(А, В), (5.1)

где А – нечеткое подмножество пространства входных значений X,

В – нечеткое подмножество пространства выходных значений Y,

либо как отношение (оператор):

R: R = А  В. (5.2)

Отношение R можно рассматривать как нечеткое подмножество прямого (декартова) произведения XY множества предпосылок X и множества следствий Y.

Примечание.

Каждое правило определяет «нечеткое пятно» (декартово произведение AB) в пространстве состояний системы. Чем обширнее нечеткие множества A и B, тем больше и неопределеннее «нечеткое пятно». Нечеткие правила являются блоками для построения знаний. Можно сказать, что каждое нечеткое правило действует как ассоциативная память, связывающая нечеткий отклик B с нечетким стимулом A [26].

Система нечеткого логического вывода представляет собой композицию нечетких правил [27]:

где m – количество нечетких термов, степень принадлежности к которым требуется определить,

k_j – количество правил вывода, необходимых для определения степени принадлежности к нечеткому терму b_j,

n – количество условий, реализующих правило вывода,

w_jp – вес правила,

x_i – входное значение, принадлежащее нечеткому терму a_i,jp,

y – выходное значение.

Правила, входящие в (5.3) обычно имеют вид:

«Если цена велика и спрос низкий, то оборот мал», (5.4)

где «цена» и «спрос» – входные переменные,

«оборот» – выходное значение,

«велика», «низкий» и «мал» – функции принадлежности (нечеткие множества), определенные на множествах значений «цены», «спроса» и «оборота» соответственно.

Пример.

Система кондиционирования может быть описана правилами: «Если температура в комнате высокая, то скорость вращения вентилятора высокая» и «Если температура в комнате низкая, то скорость вращения вентилятора низкая». Результатом преобразования посылки «Температура в комнате 30° С» для кондиционера может служить указание «Включить вентилятор». Все значения температур, при которых необходимо его включение, образуют подмножество во множестве условий, приводящих к включению вентилятора. Преобразование производится функцией управления, роль которой в данном случае может выполнять термостат.

Нечеткие правила вывода образуют базу правил. Следует особо отметить, что в нечеткой экспертной системе, в отличие от традиционной, работают все правила одновременно, однако степень их влияния на выход может быть различной. Таким образом, в основе нечетких экспертных систем лежит принцип суперпозиции множества правил при оценке их влияния на конечный результат.

Процесс обработки нечетких правил вывода в экспертной системе состоит из четырех этапов:

1. вычисление степени истинности левых частей правил (между «если» и «то») – определение степени принадлежности входных значений нечетким подмножествам, указанным в левой части правил вывода;

2. модификация нечетких подмножеств в правой части правил вывода (после «то») в соответствии со значениями истинности, полученными на первом этапе;

3. объединение (суперпозиция) модифицированных подмножеств;

4. скаляризация результата суперпозиции, т.е. переход от нечетких подмножеств к скалярным значениям.

Для определения степени истинности левой части каждого правила, нечеткая экспертная система вычисляет значения функций принадлежности нечетких подмножеств от соответствующих значений входных переменных. Например, для правила (5.4) определяется степень вхождения конкретного значения переменной «цена» в нечеткое подмножество «велика», то есть истинность предиката «цена велика». К вычисленным значениям истинности могут применяться логические операции. Наиболее часто используются следующие определения операций нечеткой логики:

truth (~ X) = 1 – truth(X),

truth (X & Y) = min{truth (X), truth (Y)}, (5.5)

truth (X  Y) = max{truth (X), truth (Y)},

где X и Y – высказывания,

truth (Z) – степень истинности высказывания Z.

Полученное значение истинности предназначено для модификации нечеткого множества, указанного в правой части правила. Для выполнения такой модификации применяют метод «минимума» (Correlation-min Encoding), либо метод «произведения» (Correlation-product Encoding).

Первый метод ограничивает функцию принадлежности множества, указанного в правой части правила, значением истинности левой части (рис. 5.1).

Во втором методе значение истинности левой части используется как коэффициент, на который умножаются значения функции принадлежности (рис. 5.2).

Результатом выполнения правила является нечеткое множество. Говоря более строгим языком, происходит ассоциирование переменной и функции принадлежности, указанной в правой части.

Рис. 5.1. Метод «минимума»

Рис. 5.2. Метод «произведения»

Выходы всех правил вычисляются нечеткой экспертной системой отдельно, однако в правой части нескольких из них может быть указана одна и та же нечеткая переменная. Как было сказано выше, при определении обобщенного результата необходимо учитывать все правила. Для этого система осуществляет суперпозицию нечетких множеств, связанных с каждой из таких переменных. Эта операция называется нечетким объединением правил вывода.

Например, правая часть правил «Если цена мала, то спрос велик» и «Если цена велика, то спрос мал» содержит одну и ту же переменную – «спрос». Два нечетких подмножества, получаемые при выполнении этих правил, должны быть объединены экспертной системой.

Суперпозиция функций принадлежности нечетких множеств обычно определяется методом максимума комбинации (Мах Combination):

где m_{sum F}(x) – результирующая функция принадлежности,

m_{i F}(x) – нечеткие множества.

Реализация этого метода для двух функций представлена на рис. 5.3.

Рис. 5.3. Метод Мах Combination

Другой метод суперпозиции, называемый Sum Combination, заключается в суммировании значений всех функций принадлежности (рис. 5.4):

Самым простым (но и наименее часто используемым) является подход, при котором суперпозиция не производится, а выбирается одно из правил вывода, результат которого считается интегральным. Такой прямой метод используется для задания функции принадлежности четко измеримых понятий, например, таких как скорость, время, давление и т.д.

Рис. 5.4. Метод Sum Combination

Конечным этапом обработки базы правил вывода является переход от нечетких значений к скалярным. Процесс приведения нечеткого множества к некоторому единственному значению называется скаляризацией или дефаззификацией [< англ. defuzzification].

Обычно это значение определяется методом нахождения центра тяжести функции принадлежности (Centroid Defuzzification Method) или методом максимального значения функции принадлежности (Modal Defuzzification Method), проиллюстрированными на рис. 5.5 и 5.6 соответственно.

Рис. 5.5. Скаляризация методом нахождения центра тяжести

Рис. 5.6. Скаляризация методом нахождения максимума

Конкретный выбор методов суперпозиции и скаляризации осуществляется в зависимости от желаемого поведения нечеткой экспертной системы. В качестве инструментального средства для разработки нечеткой экспертной системы можно воспользоваться пакетом CubiCalc 2.0 компании Hyper Logic Corporation [2].