Бпф с прореживанием по частоте
Формулы прямого и обратного ДПФ
(4.1.5)
отличаются только знаком в показателе экспоненты и множителем перед суммой. Поэтому можно получить еще один вариант алгоритма БПФ, выполнив преобразования, показанные на схеме рис. 4.1.3, в обратном порядке. Этот способ вычисления называется прореживанием по частоте(decimation in frequency, DIF). Покажем, как получить описание этого метода на основе прямого ДПФ (4.1.1).
Разделим исходную последовательность {x(k)} на две следующие друг за другом половины (как и в предыдущем случае, N должно быть четным числом):
Из второй суммы можно выделить множитель . Этот множитель равен 1 или -1 в зависимости от четности номера вычисляемого спектрального отсчетаn, поэтому дальше рассматриваем четные и нечетные n по отдельности. После выделения множителя ±1 комплексные экспоненты в обеих суммах становятся одинаковыми, поэтому выносим их за скобки, объединяя две суммы:
Фигурирующие здесь суммы представляют собой ДПФ суммы и разности половин исходной последовательности, при этом разность перед вычислением ДПФ умножается на комплексные экспоненты exp(-j2πm/N). Каждое из двух используемых здесь ДПФ имеет размерность N/2.
При прореживании по частоте вычисления организуются следующим образом:
Из исходной последовательности {x(k)} длиной N получаются две последовательности {y(m)} и {z(m)} длиной N/2 согласно следующим формулам:
ДПФ последовательности {y(m)} дает спектральные отсчеты с четными номерами, ДПФ последовательности {z(m)} – с нечетными:
Все сказанное в предыдущем разделе о возможности деления последовательности на иное, отличное от двух, число частей и об уменьшении числа операции, требуемых для расчетов, относится и к алгоритму с прореживанием по частоте.
Процесс вычисления 8-точечного ДПФ путем разбиения его на два 4-точечных ДПФ с прореживанием по частоте показан на рис. 4.1.3.
Рис.4.1.3 Вычисление 8-точечного ДПФ с помощью двух 4-точечных ДПФ путем прореживания по частоте
Поскольку комплексный экспоненциальный множитель в данном алгоритме применяется к результату вычитания двух сигналов, «бабочка» БПФ с прореживанием по частоте имеет несколько иную структурную схему (рис. 4.1.4).
Рис.4.1.4 Условное обозначение «бабочки» БПФ с прореживанием по частоте (слева) и ее структурная схема (справа)