Следствие из формулы Пуассона.

Рассмотрим конечную область D (достаточно гладкая поверхность S) и некоторое U(M): U(M)-0 , MD , U(M)>0.

Выберем произвольно D. Проведем через точку , как через начало координат, шар радиуса R, чтобы он целиком лежал в D.Выберем произвольно M внутри шара.

Справедлива формула Пуассона (11)

rR- , rR+ , тогда для ядра Пуассона справедлива оценка

Применяя с правой и левой части теорему о среднем, получим оценку :

Для гармонических положительных функций

(12) - оценка значений функции внутри шара через значение в центре шара. Это неравенство Горнака.

Теорема. Функция, гармоническая во всем промежутке равна 0.

Доказательство. Пусть U(M) - гармоническая функция во всем пространстве.

Опишем из начала координат сферу радиуса R. Если U – гармоническая функция внутри сферы, то по формуле (11) :

Выберем радиус сферы настолько большим, чтобы , тогда

В силу произвольности  U(M)=0, а в силу произвольности выбора точки М 

U(M)  0.

Теорема Лиувилля. Функция, гармоническая в любой конечной области и ограниченная при этом сверху или снизу, является постоянной.

Доказательство. . То есть нам все равно, рассматривать сверху или снизу. Будем считать . Не нарушая общности

будем считать, что .

Проведем из центра координат сферу радиуса R. U(M) будет гармонической внутри шара, причем она внутри этого шара неотрицательная. Тогда можно оценить значение этого шара, воспользовавшись неравенством Гарнака:

Взяв достаточно большое R, получаем

Так как М – произвольная точка, то U  const.

Теоремы о последовательностях гармонической функции.

Теорема 1. Если последовательность непрерывных в замкнутой конечной области и гармонических ,сходящихся равномерно на границе области D (D=S), то она сходится равномерно во всех внутренних точках области, причем представляемая функция является гармоничной внутри D.

Доказательство:

В силу равномерной сходимости на S справедливо, что

гармонические и непрерывные внутри области вплоть до границы, тогда

Воспользовавшись принципом Коши, получим, что равномерно сходится во всех внутренних точках. Предыдущая функция также будет непрерывна вплоть до границы Выберем внутри D произвольно М и проведем из м шар радиуса R, чтобы он целиком лежал в D, тогда

При

Применив определение Лапласа к этому выражению получаем, что U(M)=0  U(M) - гармоническая в D, т.к. М произвольная.

Теорема. Если возрастающая последовательность гармонических внутри D функций сходящихся в некоторой внутренней точке области D равномерно

, то она сходится равномерно в любой замкнутой ,целиком лежащей в , т.е. сходится в любой точке из D.

Доказательство:

Опишем из сферу радиуса R.

Тогда по (12)

Проведем из другую сферу S’ радиусом R-a, a>0

Будем считать, что ,тогда внутри этой сферы R_a, тогда , отсюда

Выберем , проведем из нее шар, чтобы он целиком лежал в D и повторим предыдущее рассуждение. Т.о. получим сходимость .

По лемме Бореля всякую замкнутую конечную область можно покрыть конечным числом шаров, т.о. это дает равномерную сходимость последовательность в любой замкнутой области, целиком лежащей в D.

Гармоничность предполагаемой функции доказывается аналогично, как в Теореме1.