3.2.3. Циклические группы

Пусть <а> – циклическая группа, порожденная элементом а.

Теорема 1. Каждая подгруппа циклической группы также является циклической.

Теорема 2. В конечной циклической группе <а> порядка т элемент a^k порождает подгруппу порядка m(k, т) ^-1.

Теорема 3. Если d – положительный делитель т, то G содержит единственную подгруппу индекса d.

Теорема 4. Для любого положительного делителя l числа т группа <a> содержит в точности одну подгруппу порядка l.

Теорема 5. Пусть l – положительный делитель порядка конечной циклической группы <а>. Тогда <а> содержит ( l) элементов порядка l.

Теорема 6. Конечная циклическая группа <а> порядка т содержит ( т) образующих. Элемент a^l является образующим лишь при условии (l,m)=1.