3.1.15. Символ Якоби

Символ Якоби является обобщением символа Лежандра и служит для упрощения вычисления последнего. Пусть Р – нечетное натуральное число, Р=р₁р₂р_s – его разложение на простые множители. Для всякого целого а, (a,Р)=1, символ Якоби определяется по формуле

Отметим следующие свойства.

Свойство 1.

Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4.

Заметим, что из равенства нe следует, что а является квадратичным

вычетом по модулю Р. В действительности, а является квадратичным вычетом по модулю Р тогда и только тогда, когда а — квадратичный вычет по модулю

каждого простого р_i, i= 1, 2, ..., s. В то же время из равенства следует, что a – квадратичный невычет по mod P.

Теорема 1. Пусть Р и Q – положительные взаимно простые нечет­ные модули. Тогда