24 Алгебра логики. Что такое логическая формула.
Алгебра логики – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
Основные объекты логики – предложения, которые могут быть либо истинными, либо ложными.
В формулах алгебры логики переменные являются логическими или двоичными, т.е. принимают только два значения: «ложь» - «истина»
Л - И
0 - 1
false - true
Знаки операций обозначают логические операции (логические связки). Каждая формула задает логическую функцию: функцию от логических переменных, которая сама может принимать только два логических значения.
Х1 Х2 . . . Хn |
f(X1, X2, …Xn) |
Набор значений аргументов | Значение функции
(0 или 1) |
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой. Определение логической формулы:
Определение логической формулы:
1. Всякая логическая переменная и символы "истина" ("1") и "ложь" ("0") - формулы.
2. Если А и В - формулы, то , (А
· В), (А v В), (А ® B), (А « В) - формулы.
3. Никаких других формул в алгебре логики нет.
В п. 1 определены элементарные формулы; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул.
В качестве примера рассмотрим высказывание "если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог". Это высказывание формализуется в виде (A v B) ® C; такая же формула соответствует высказыванию "если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика".
Как показывает анализ формулы (A v B) ® C , при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение "истина", а при некоторых других сочетаниях - значение "ложь" (разберите самостоятельно эти случаи). Такие формулы называются выполнимыми.
Некоторые формулы принимают значение "истина" при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А v, соответствующая высказыванию "Этот треугольник прямоугольный или косоугольный". Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.
В качестве другого примера рассмотрим формулу А •, которой соответствует, например, высказывание "Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати". Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.
Если две формулы А и В "одновременно", то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.
Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом "=" или символом "є". Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.
Основные логические устройства компьютера. (Сумматор, триггер).
Основные логические устройства компьютера (сумматор, регистр).
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех базовых операций (И, ИЛИ, НЕ), любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов как из кирпичиков.
Логический элемент И. На входы А и В логического элемента последовательно подаются четыре пары сигналов различных значений, на выходе получается последовательность из четырех сигналов, значения которых определяются в соответствии с таблицей истинности операции логического умножения (рис. 11).
Логический элемент ИЛИ. На входы Аи В логического элемента последовательно подаются четыре пары сигналов различных значений, на выходе получается последовательность из четырех сигналов, значения которых определяются в соответствии с таблицей истинности операции логического сложения (рис. 12).
Логический элемент НЕ. На вход А логического элемента последовательно подаются два сигнала, на выходе получается последовательность из двух сигналов,
значения которых определяются в соответствии с таблицей истинности логического отрицания (рис. 13).
Сумматор. В целях максимального упрощения работы компьютера все многообразие математических операций в процессоре сводится к сложению двоичных чисел. Поэтому главной частью процессора является сумматор, который обеспечивает такое сложение.
При сложении двоичных чисел образуется сумма в данном разряде, при этом возможен перенос в старший разряд. Обозначим слагаемые (А, В), перенос (Р) и сумму (S). Построим таблицу сложения одноразрядных двоичных чисел с учетом переноса в старший разряд (табл. 4).
Теперь, на основе полученного логического выражения, можно построить из базовых логических элементов схему полусумматора (рис. 14).
Данная схема называется полусумматором, так как выполняет суммирование одноразрядных двоичных чисел без учета переноса из младшего разряда.
Многоразрядный сумматор процессора состоит из полных одноразрядных сумматоров. На каждый разряд ставится одноразрядный сумматор, причем выход (перенос) сумматора младшего разряда подключен ко входу сумматора старшего разряда.
Триггер. Важнейшей структурной единицей оперативной памяти компьютера, а также внутренних регистров процессора является триггер (рис. 15). Это устройство позволяет запоминать, хранить и считывать информацию (каждый триггер может хранить 1 бит информации).
Для построения триггера достаточно двух логических элементов «ИЛИ» и двух элементов «НЕ».
В обычном состоянии на входы триггера подан сигнал «О», и триггер хранит «О». Для записи «1» на вход S (установочный) подается сигнал «1». При последовательном рассмотрении прохождения сигнала по схеме видно, что триггер переходит в это состояние и будет устойчиво находиться в нем и после того, как сигнал на входе S исчезнет. Триггер запомнил «1», т. е. с выхода триггера Q можно считать «1».
Чтобы сбросить информацию и подготовиться к приему новой, на вход R (сброс) подается сигнал «1», после чего триггер возвратится к исходному «нулевому» состоянию.
Что такое триггер.
Триггер – это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надежного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое – двоичному нулю.
Термин «триггер» происходит от английского слова trigger – защелка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip – flop, что в переводе означает «хлопанье». Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на ее способность почти мгновенно переходить из одного электрического состояния в другое и наоборот.
Самый распространенный тип триггера – так называемый RS – триггер ( S и R соответственно от английских слов set – установка и reset – сброс). Условное обозначение триггера – на рис.6. Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и , причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала. На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов. Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие – нулем.
На рис. 7 показана реализация триггера с помощью вентилей ИЛИ-НЕ, в таблице 6 – соответствующая таблица истинности.
Таблица 6
|
Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ-НЕ (см. табл. 5).
Если на входы триггера подать S = «1», R = «0», то (независимо от состояния) на выходе Q верхнего вентиля появится «0». После этого на входах нижнего вентиля окажется R = «0», Q = «0» и выход станет равным «1».
Точно так же при подаче «0» на вход S и «1» на вход R на выходе появится «0», а на Q – «1».
Если на входы S и R подана логическая «1», то состояние Q и не меняется.
Подача на оба входа R и S логического «0» может привести к неоднозначному результату, поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.
Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта соответственно 8*210=8192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.
Что такое сумматор.
Сумматор – это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.
Сумматор служит прежде всего центральным узлом арифметико–логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.
В зависимости от системы счисления различают:
двоичные;
двоично-десятичные (в общем случае двоично-кодированные);
десятичные;
прочие (например, амплитудные).
По количеству одновременно обрабатываемых разрядов складываемых чисел:
одноразрядные,
многоразрядные.
Условное обозначение одноразрядного сумматора приведено на рис. 8.
При сложении чисел А и В в одном i –м разряде приходится иметь дело с тремя цифрами:
1. цифра аiпервого слагаемого;
2. цифра biвторого слагаемого;
3. перенос рi-1 из младшего разряда.
В результате сложения получаются две цифры:
1) цифра сiдля суммы;
2) перенос рi из данного разряда в старший.
В реальных электронных схемах сумматор изображается так.
Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами.
Обозначением полного двоичного сумматора служат буквы SM. Работу его отражает таблица истинности – табл.7.
Таблица 7
Входы | Выходы | ||||
Первое слагаемое | Второе слагаемое | Перенос | Сумма | Перенос | |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причем для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.
Дополнительно, для сравнения - схема полусумматрора:
Схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ.
Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.
Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис.1, а таблица истинности в таблице 1.
Таблица 1
|
Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.
Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается отношением z = х * у (читается как «х и у»).
Операция конъюнкции на функциональных схемах обозначается знаком & (читается как «амперсэнд»), являющимся сокращенной записью английского слова and.
Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений.
Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на ее выходе также будет единица.
Условное обозначение схемы ИЛИ знак «1». Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением z = х + у (читается как «х или у»). Рис.2 и таблица 2.
Таблица 2
|
Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания.
Связь между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = ,
где читается как «не х» или «инверсия х».
Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение инвертора - на рис.3, а таблица истинности – в таблице 3
Таблица 3
|
Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И.
Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают следующим образом:
z = , гдечитается как «инверсия х и у». Условное обозначение схемы И-НЕ представлено на рис. 4, а таблица истинности схемы И-НЕ – в таблице 4.
Таблица 4
|
Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.
Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают следующим образом:
z = , гдечитается как «инверсия х или у».
Таблица 5
|
Условное обозначение схемы ИЛИ-НЕ представлено на рис. 5, а таблица истинности схемы ИЛИ-НЕ – в таблице 5.
- 1 Информация и информационные процессы в природе, обществе, технике. Информационная деятельность человека. Привести примеры.
- 2Информатика. Определение. Основные направления информатики.
- 3Основные этапы развития вычислительной техники. Информатизация общества.
- 4 Качественные и количественные характеристики информации. Свойства информации. Единицы измерения количества информации.
- 5Кодирование информации, его способы. Привести примеры.
- 6 Арифметические основы компьютера. Системы счисления. Определение системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.
- 7 Двоичная система счисления. Запись чисел в двоичной системе счисления.
- 8 Восьмеричная система счисления. Запись чисел в восьмеричной системе счисления. Привести примеры.
- Алгоритм перевода из 8-ой в 2-ую
- 9 Шестнадцатеричная система счисления. Запись чисел в шестнадцатеричной системе счисления. Привести примеры.
- Примеры:
- Алгоритм перевода чисел из 16-ой в 2-ую
- 10 Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую позиционную систему счисления. Привести примеры.
- 11 Перевод чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в десятичную систему счисления. Привести примеры.
- 12 Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую. Привести примеры.
- 13 Арифметические операции в позиционных системах счисления. (в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной). Привести примеры.
- 14 Что такое компьютер. Классификация компьютеров по поколениям.
- 15 Краткая историческая справка.
- 16 Функциональная схема компьютера. Основные устройства компьютера, их назначения и взаимосвязь.
- 17 Основные характеристики компьютера. (Объём оперативной и внешней памяти, разрядность и т.Д.).
- 18 Внешняя память компьютера. Различные виды носителей информации.
- 19 Программное управление работой компьютера. Программное обеспечение компьютера.
- 20 Что такое мультимедиа.
- 21 Что такое операционная система. Основные функции операционной системы. Привести примеры операционных систем.
- 22 Файловая система. Основные операции с файлами в операционной системе.
- 23 Что такое транслятор, компилятор, интерпретатор.
- 24 Алгебра логики. Что такое логическая формула.
- 27 Логическое сложение и умножение.
- 28 Основные законы алгебры логики.
- 29 Таблица истинности для логической формулы.
- 30 Этапы решения задач на эвм
- 31 М оделирование, как метод научного познания. Модели физические и математические. Привести примеры.
- 32 Алгоритм. Свойства алгоритма. Виды алгоритмов.
- 33 Алгоритмическая структура «ветвление». Привести примеры.
- 34 Алгоритмическая структура «цикл». Привести примеры.
- 35 Одномерные массивы и алгоритмы их обработки. Привести примеры.
- 36 Двумерные массивы и алгоритм их обработки. Привести примеры.
- 37 Язык и информация. Естественные и формальные языки
- 38 Языки программирования
- 39 Общая характеристика языка Turbo-Pascal.
- 40 Алфавит, синтаксис, семантика языка Turbo-Pascal.
- 41 Классификация типов данных языка.
- 42 Операторы. Классификация операторов.
- 43 Структура программы на языке Turbo-Pascal.
- 44 Простые и структурированные операторы языка.
- 45 Логические операторы языка Turbo-Pascal.
- 46 Ввод и вывод данных в языке Turbo-Pascal. Привести примеры.