8.Логические элементы эвм. Алгебра логики. Законы алгебры логики.

Для описания логики функционирования аппаратных и программных средств ЭВМ используется алгебра логики или, как ее часто называют, булева алгебра. Основоположником этого раздела математики был Дж. Буль.

Булева алгебра оперирует с логическими переменными, которые могут принимать только два значения: истина или ложь, обозначаемые соответственно 1 и 0.

Как ранее отмечалось, основной системой счисления ЭВМ является двоичная СС, в которой также используются только две цифры: 1 и 0. Таким образом, одни и те же цифровые устройства ЭВМ могут применяться для обработки как числовой информации в двоичной СС, так и логических переменных. Это обуславливает универсальность (однотипность) схемной реализации процесса обработки информации в ЭВМ.

Совокупность значений логических переменных x₁, x₂, ..., x_n называется набором переменных.

Логической функцией от набора логических переменных (аргументов) F(x₁, x₂, ..., x_n ) называется функция, которая может принимать только два значения: истина или ложь (1 или 0). Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записываются возможные наборы аргументов, а в правой — соответствующие им значения функции. Логическую функцию порой называют функцией алгебры логики (ФАЛ).

В случае большого числа аргументов табличный способ задания функции алгебры логики становится громоздким, поэтому ФАЛ удобно выражать через другие, более простые ФАЛ.

Общее число ФАЛ n переменных определяется возведением числа 4 в степень n, т. е. 4ⁿ. Существуют четыре ФАЛ одной логической переменной.

Функции F₀(х) = 0 и F₃(х) = 1 являются константами (функции не изменяются при изменении аргумента). Функция F₁(х) = х повторяет значение аргумента х. Функция F₂(x) называется отрицанием переменной или инверсией и обозначается так:

F₂(x) = .

Число ФАЛ двух переменных x₁ и x₂ равно 16: F₀(x) ... F₁₅(x). Шесть функций являются вырожденными: F₀(x) = 0, F₃(x) = x₁, F₅(x) = x₂, F₁₀(x) = , F₁₂(x) = , F₁₅(x) = 1.

Из оставшихся десяти логических функций широкое распространение имеют функции F₁(х) (конъюнкция или логическое умножение) и F₇(х) (дизъюнкция или логическое сложение), которые совместно с функцией инверсии составляют функционально полную систему логических функций. С помощью этих трех функций можно представить (аналитически выразить) любую сколь угодно сложную логическую функцию. Очень важной для вычислительной техники является логическая функция исключающее ИЛИ (неравнозначность, сложение по модулю два). Функция исключающее ИЛИ обозначается символом Å. Ниже приведены таблицы истинности для этих трех функций.

Логические переменные, объединенные знаками логических операций, составляют логические выражения. При определении значения логического выражения принято следующее старшинство (приоритет) логических операций: сначала выполняется инверсия, затем конъюнкция и в последнюю очередь — дизъюнкция. Для изменения указанного порядка используют скобки.

Рассмотрим аксиомы, тождества и основные законы алгебры логики.

В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения: 0 и 1. Базируется алгебра логики на отношении эквивалентности и трех упомянутых ранее операциях: дизъюнкции (синонимы — логическое сложение, операция ИЛИ), конъюнкции (логическое умножение, операция И) и отрицании (инверсия, операция НЕ).

Отношение эквивалентности обозначается знаком =.

Дизъюнкция обозначается знаком Ú, а иногда символом +.

Конъюнкция обозначается символом Ù либо точкой, которую можно опускать.

Отрицание обозначается чертой над переменной: .

Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:

x = 0, если x ¹ 1.

x = 1, если x ¹ 0.

1 Ú 1 = 1 0 Ù 0 = 0

0 Ú 0 = 0 1 Ù 1 = 1

0 Ú 1 = 1 Ú 0 = 1 1 Ù 0 = 0 Ù 1 = 0

.

Если в аксиомах произвести взаимную замену операций дизъюнкции и конъюнкции, а также элементов 0 и 1, то из одной аксиомы данной пары получается другая. Это свойство называется принципом двойственности.

С помощью аксиом можно получить ряд тождеств.