Свойства дпф

1. Цикличность. Последовательность коэффициентов ДПФ является периодической последовательностью

.

Последовательность отсчетов сигнала, полученная обратным ДПФ (ОДПФ) из ее коэффициентов также периодична

.

Это свойство следует из периодичности ядра преобразования .

2. Симметрия.

;

;

.

3. Теорема сдвига (инвариантность относительно сдвига во времени и частоте).

Пусть - последовательность, образованная из последовательностициклическим сдвигом наотсчетов. Тогда справедливо соотношение

.

Свойство показывает, что при сдвиге по времени амплитудный спектр не меняется. Изменяются только фазы гармонических составляющих.

Аналогичное свойство для частотной области

.

4. Интерполяция. Спектр последовательности, полученный раздвиганием и дополнением нулями элементов некоторой исходной последовательности, образуется с помощью интерполяции отсчетов ДПФ исходной последовательности.

Четные компоненты спектра удлиненной последовательности совпадают с аналогичными значениями спектра исходной последовательности. Нечетные компоненты спектра удлиненной последовательности можно рассматривать как результат интерполяции.

5. Теорема отсчетов. Периодическое M кратное повторение исходной последовательности приводит к увеличению в M раз значений спектральных компонент её ДПФ, размещению их с шагом M и дополнением остальных позиций спектра нулями:

,

где - символ Кронекера.

6. Децимация. Пусть {X_NM(k)} - множество коэффициентов спектра ДПФ последовательности {x[n]; n=0,1,…,NM-1}:

,

m = 0,1,…,M-1; n = 0,1,…,N-1

Отсюда можно получить выражение для спектра децимированной последовательности

. (46)

7. Теорема о перестановках. Если P не имеет общих делителей с N, то

, (47)

где . Эта теорема является аналогом теоремы о масштабах интегрального преобразования Фурье. Но если изменение масштаба сигнала, например, растяжение сигнала по координате вP раз, приводит к сжатию его спектра Фурье в P раз, то для дискретных последовательностей и их ДПФ это соответствует перестановкам элементов последовательностей.

8. Линейность. Пусть даны две последовательности и, для которых ДПФ равны соответственнои. Спектр взвешенной суммы последовательностейa + b=равен аналогичной взвешенной сумме спектров:

= a+ b. (48)

9. Теорема о свертке. Спектр свертки двух последовательностей иравен произведению спектровисворачиваемых последовательностей:

. (49)

Теорема позволяет вычислить циклическую свертку y[l] при помощи ДПФ по формуле

{y[l]} = ДПФ^-1(ДПФ{x[n]} ДПФ{h[n]}).

10. ДПФ вещественной последовательности. Пусть {x[n]} – вещественная последовательность. ДПФ такой последовательности имеет следующие особенности:

• Спектральные коэффициенты комплексно сопряжены относительно N/2

,

где операторозначает комплексное сопряжение.

• Если x[n] – четная последовательность, т.е. x[n]=x[-n], то спектр ДПФ {X(k)} также представляет собой вещественную последовательность.

• Если x[n] – нечетная последовательность, т.е. x[n]=-x[-n], то {X(k)} представляет собой чисто мнимую последовательность.

Данное свойство позволяет при помощи одного преобразования вычислить ДПФ двух действительных последовательностей, либо использовать N/2 –точечное преобразование для вычисления спектра N точечной последовательности.