28. Дискретные экспоненциальные функции

В дискретных преобразованиях Фурье используется система дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), определяемых как

Переменные k и n принимают целочисленные значения (0,1,…,N-1). Переменную k отождествляют с номером функции, а переменную n – с номером отсчета.

Если обозначить , тогда. Функцияносит названиеповорачивающий множитель.

Образуем матрицу

,

строки которой нумеруются переменной k, столбцы переменной n, а на пересечении k-й строки и n-го столбца записана величина .

Прямое и обратное ДПФ имеет следующую матричную форму записи:

; ,

где - вектор отсчетов сигнала,- вектор коэффициентов спектра ДПФ;T – оператор транспонирования .

Заметим, что для поворачивающего множителя справедливы следующие соотношения:

• и, следовательно, , т.е. поворачивающий множитель первой степени является корнемN-й степени из единицы;

• ; .

Для любого N матрица F_N обладает следующими свойствами:

1. Матрица F_N ортогональна и унитарна: ;I_N- единичная диагональная матрица.

2. Матрица F_N- симметрична: .

3. , где Q_N- симметричная матрица перестановок

4. .

5. Сопряженная матрица имеет вид .

6. Обратная матрица имеет вид .

Для формирования обратной матрицы необходимо прочесть в обратном порядке элементы с отличными от нуля степенями (kn  0) строк матрицы F_N .

7. Мультипликативность

;.

При умножении любых двух строк (столбцов) матрицы ДЭФ получается строка (столбец) той же матрицы. Номер строки (столбца) равен сумме номеров сомножителей.

8. Факторизуемость. Для любого N, разложимого в произведение отличных от 1 чисел N₁ и N₂, матрица функций ДЭФ порядка N представима в виде

или в виде

,

где и- матрицы перестановок, отвечающие транспонированию прямоугольных матриц соответственно размеров (N₁N₂) и (N₂N₁); - диагональная матрица, образованная последовательностью поворачивающих множителей