Внешняя задача Дирихле для шара.

f(M) непрерывна на S ,

Решение внешней задачи Дирихле для

шара дается формулой (14)

Покажем что это так:

Покажем чтоU(M) из (14) гармоническая в E. Рассмотрим поведение U(M) на бесконечности. Пусть М настолько удалена от начала координат, что 2R

r-R  r/2. Тогда

покажем непрерывность примыкания к граничным условиям.

Для этого запишем (14) в сферических координатах

Выберем произвольно NS, покажем, что когда MN, U(M)f(N). Подвергнем точку М инверсии относительно поверхности сферы, т.е. найдем M₁(x₁,y₁,z₁) :

При М ,

В силу R, как было показано ранее это выражение стремится к f(N). Т.о. (14) определяет решение внешней задачи Дирихле для шара.

Поведение производных функций, гармоничных на бесконечности. Пусть D- конечная область, D=S ,Е – внешняя по отношению к D бесконечная область.

Выберем в качестве начала координат некоторую внутреннюю точку области D и проведем из нее шар радиуса R так, что вся D лежала внутри шара.

Как было показано ранее U(M)<c/,

Подставим эту оценку

Аналогично т.к. А>C, то UA/ , 

Т.о. показали, что функции, ограниченные в областях, удовлетворяет заданному условию.