Приведение матричного уравнения к новым координатам

Уравнение n-го порядка (3.15) в векторно-матричном виде подвергнем линейным преобразованиям,

у(t) = Тх(t),(3.16)

где Т– матрица перехода к новой системе координатy. МатрицаТнесобственная (имеет обратную матрицу). Откуда

х(t) = Т^-1у(t), (3.17)

.

Подставим в исходное уравнение (3.15):

.

Последнее выражение умножим на Тслева:

.

Обозначим

, (3.18)

где – диагональная матрица собственных значений матрицы.

Окончательно приходим к уравнению:

. (3.19)

В уравнении (3.19) две неизвестные матрицы – иТ. Элементы матрицы– собственные значения матрицыАможно найти двумя способами:

1. из уравнения:

, (3.20)

здесь Е– единичная диагональная матрица.

2. В MathCadдля расчета собственных значений матрицы используется функцияeigenvals(A). АргументАфункцииeigenvals– матрица. Функция возвращает собственные значения аргумента.

Для нахождения матрицы Тусловие (3.18) умножим справа наТ:

,

. (3.21)

Для того чтобы получить Ттакое, чтобы оно диагонализировало матрицуА, необходимо найти решение уравнения (3.21).

В MathCadможно воспользоваться функцией расчета нормализованной матрицы (составленной из собственных векторов матрицы-аргумента) с помощью функцииeigenvecs(A). АргументАфункцииeigenvecs– матрица. Функция возвращает нормализованные значения аргумента. Полученная в результате матрица является обратной к матрицеT. Т. е. результат функцииeigenvecs(A)– матрица.

После определения элементов матриц – иТ. можно воспользоваться известной формулой решения систем дифференциальных уравнений в матричном виде (3.9). Для уравнения (3.15) в случае размера матриц 2 х 2решение имеет вид:

, (3.22)

где

. (3.23)

Искомая функция x(t) находится из уравнения (3.17)

.