Классические задачи принятия решений.

Под задачей принятия решения будем понимать процесс, который включает в себя:

• генерирование альтернативных вариантов решения;

• их оценку по заданному критерию эффективности;

• выбор из них наилучшего.

Столь общее определение требует введения математического формализма, поэтому будем использовать аппарат общей теории систем. Дадим определение системы.

Под системой «вход-выход» в самом общем случае (абстрактная система) будем понимать отношение

где Y – множество параметров, называемых входными,

X – множество параметров, называемых выходными,

 - знак декартова произведения.

Если отношение является функцией, то следует пользоваться отображением:

Тогда формулировка задачи принятия решения будет:

Пусть Y – множество исходных данных.

Конкретизация элемента y₀Y приводит в дальнейшем к получению решения с конкретными числовыми параметрами, зависящими от y₀.

Множество неопределённостей обозначим H, в нём элемент hH характеризует свойство действующих случайных возмущений или степень незнания параметров задачи.

Множество управляющих воздействий, или просто множество действий, которые могут привести к решению задачи, обозначим U, тогда его подмножество U_f будет соответствовать множеству допустимых управлений (действий).

Собственно решение задачи обозначим x, а всё множество возможных решений – X.

Построим на перечисленных множествах выходную функцию:

определяющую структуру и содержание задачи принятия решений.

Зададим оценочную функцию

которая отображает принимаемые решения на множество оценок. Эта функция частично или полностью упорядочена отношением .

Введём функцию допустимости (толерантности)

определяющую предельные значения качества решения.

Сформулируем задачу отыскания удовлетворительных (допустимых или толерантных) решений в следующем виде.

Заданы элемент y₀Y и множество U_f  U.

Требуется определить такой элемент u₀U_f и соответствующий ему элемент x₀X, при которых для всех hH будет выполняться неравенство

Таким образом, шестёрка

Рисунок 1. Граф поиска дополнительного решения

определяет задачу нахождения удовлетворительных решений. Для наглядной иллюстрации этой задачи рассмотрим последовательность выполняемых в процессе решения операций, отобразим её ориентированным графом (рисунок ). Маршрут из начальной вершины О в конечную вершину F, удовлетворяющий для каждого hH и управления u₀U_f, является решением задачи.

Задачу принятия оптимальных решений сформулируем следующим образом. Дан элемент y₀Y и подмножество U_f. Требуется определить такой элемент u*U_f и соответствующий ему элемент x*X, при которых для всех hH и для всех uU_f (u  u*) будет выполняться неравенство