3.3.5. Простые и максимальные идеалы

Идеал Н кольца R называется простым, если ab  Н => а  Н либо b  Н. Идеал Н кольца R называется максимальным, если он не содержится ни в каком большем идеале, кроме самого кольца R.

Теорема 1. Пусть R – коммутативное кольцо с единицей, Н – идеал кольца R.

l. Идеал Н прост тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R/H является областью целостности.

2. Идеал Н максимален тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R/H является полем.

Следствие 1. Всякий максимальный идеал прост.

Данная теорема позволяет строить новые конечные поля, отличные от полей типа F_p.

Теорема 3.11.2. В евклидовом кольце идеал Н = аR, являющийся автома­тически главным, максимален тогда и только тогда, когда а – простой элемент.

Пример. Многочлен х² + х + 1 является простым элементом кольца многочленов над полем F₂, поскольку его приводимость означает наличие корней в этом поле. Здесь, конечно, мы используем то обстоятельство, что он может разлагаться лишь на два множителя первой степени. Представителями классов вычетов являются элементы 0, 1, х, х +1. Над ними можно производить сложе­ние и умножение по модулю х² + х + 1. Тем самым построено поле F₄ . Приве­дем таблицы умножения и сложения в этом поле.