3.3.4. Евклидовы кольца

Теория делимости целых чисел может быть значительно обобщена. В частности, ее можно развить для колец многочленов над произвольными полями.

Евклидовым кольцом называется область целостности R вместе с нормой v:R*—> N  {0} (R* – множество ненулевых элементов кольца, N  {0} – неотрицательные целые числа), которая удовлетворяет следующим условиям:

v(ab)  v(a) для любых x,yR*;

для любых а  R, b  R* существуют элементы q и r такие, что

а = bq + r, где либо r = 0, либо v(r) < v(b).

Евклидово кольцо – это кольцо Z вместе с нормой, являющейся обычным модулем. Кольцо многочленов F[x] над любым полем F также является евклидовым. В качестве нормы следует взять степень многочлена. Менее очевидно, что евклидово кольцо образуют целые гауссовские числа, т.е. числа вида а + bi, а, b  Z. Здесь в качестве нормы следует взять квадрат модуля v(a+bi) = а² + b². Эти числа обозначают Z[i].

Теорема 1. В евклидовом кольце R для любых а,b  R*

v(ab) = v(a),

если b – обратим, и v(ab) >v(a) в противном случае.

Следствие 1. В евклидовом кольце элемент a обратим тогда и только тогда, когда v(a)=v(е).

Например, обратимые элементы кольца Z – это ±1. В кольце целых гауссовских чисел обратимыми будут четыре элемента: ±1, ±i.

Теорема 2. В евклидовом кольце все идеалы главные.

В силу наличия в евклидовом кольце алгоритма деления с остатком для него можно построить теорию делимости, аналогичную теории делимости для кольца целых чисел. В частности, можно ввести понятия НОК и НОД двух элементов. Для нахождения НОД можно использовать алгоритм Евклида. В евклидовом кольце любой элемент можно разложить в произведение простых элементов. Однако это разложение менее определенное, чем каноническое разложение целого числа, из-за наличия в произвольном евклидовом кольце обратимых элементов. Отметим в связи с этим, что все обратимые элементы евклидова кольца образуют группу по умножению. Она называется группой единиц кольца и обозначается через U(R). Например, U(Z)= ±1, U(Z[i])=[±l,±i], U(R[x])=R*. Назовем элемент рR* простым, если он необратим и не раскладывается в произведение двух необратимых множителей. Два простых элемента называются ассоциированными, если они отличаются обратимым множителем, т.е. р=uq, где uU(R) Например, 5 и –5 – простые ассоциированные элементы в кольце Z. Отношение ассоциированности является бинарным отношением эквивалентности. Поэтому имеем разбиение простых элементов на непересекающиеся классы ассоциированных.

Теорема 3. В евклидовом кольце всякий ненулевой необратимый элемент можно представить в виде произведения степеней попарно неассоциированных простых элементов. В этом разложении классы простых элементов и их степени определены однозначно.