3.3.8. Конечные поля

Всякое конечное поле Р содержит простое подполе F_p = F_p. Поскольку поле Р конечное, оно имеет конечную степень п над простым подполем. Обозначим через р₁, p₂,.., р_п базис Р над F_p. Тогда любой элемент х  Р можно однозначно записать в виде х = f₁p₁ + f₂p₂ + ...+ f_nр_n, f_iF_p. Для каждого коэффициента f_i имеется р возможностей выбора. Поэтому порядок поля Р необходимо равен р^п. Однако мы не знаем, для каких п поле действительно существует.

Наша ближайшая цель — доказать существование поля Галуа для любого простого р и натурального п. Положим q = р^п,

Лемма 1. Многочлен f(x) = х^q – х не имеет кратных корней в любом поле характеристики р, в котором он разлагается на линейные множители.

Заметим, что для любого ненулевого корня многочлена х^q –х верно ^q-1 =1.

Теорема 1. Поле разложения многочлена x^q – х содержит в точности р^п элементов.

Следствие 1. Существует лишь одно с точностью до изоморфизма поле

Теорема 2. Мультипликативная группа любого конечного поля Р циклична.

Образующий элемент циклической группы называется примитивным

элементом этого поля. Его можно взять в качестве примитивного элемента расширения F_p  . Поэтому верна следующая теорема.

Теорема 3. Всякое конечное поле характеристики р является простым алгебраическим расширением поля F_p.

Минимальный многочлен примитивного элемента поля имеет степень п. Поэтому можно сказать, что это поле изоморфно фактор-кольцу F_p[x]/m(x)F_p[x] для некоторого неприводимого многочлена т(х) степени п. При этом т(х)|(х^q – 1).