1. Математическая модель следящей системы

нелинейный следящий автоматизированный

Структурная схема электромеханической следящей системы на базе электропривода постоянного тока приведена на рис 1.1.

Рис. 1.1

На схеме обозначены:

V₁ и V₂ - углы поворота командной и исполнительной оси;

V₁=V₁-V₂ - рассогласование (ошибка);

ЧЭ - чувствительный элемент (датчик угла рассогласования);

У - усилитель и его статическая характеристика;

РУ - релейный усилитель;

Д - двигатель;

Р - редуктор;

ТГ - тахогенератор;

РМ - рабочий механизм (объект управления);

Статическая характеристика релейного усилителя показана на рис. 1.2

Рис. 1.2

По данной структурной схеме составим дифференциальные уравнения звеньев системы.

1. Уравнение чувствительного элемента

U₁=K₁V, (1.1)

V=V₁-V₂,

Где U₁ - напряжение на выходе чувствительного элемента.

2. Уравнение линейного усилителя в операторной форме.

(T₁p+)U₂=K₂U, (1.2)

U=U₁-U_ТГ,

Где U₂ - напряжение на выходе усилителя, U_ТГ - напряжение тахогенератора,

- оператор Лапласа

Статическая характеристика усилителя с учетом насыщения представлена на рис 1.3.

Рис. 1.3

3. Уравнение релейного усилителя записывается в следующем виде:

U₃=F(U₂) (1.3),

где U₃ - напряжение на выходе усилителя (У);

F(U₂) - нелинейная функция, заданная статической характеристикой (см. рис. 1.2).

4. Уравнение исполнительного двигателя.

Составим обобщенное дифференциальное уравнение движения постоянного тока, управляемого по цепям якоря обмотки возбуждения.

За входные величины принять напряжение цепи якоря U_Я и обмотки возбуждения U_В и момент нагрузки на валу двигателя M_Н=М_Н(t), за выходную - угловую скорость якоря двигателя .

Насыщением магнитных цепей и реакцией якоря можно пренебречь.

Двигатель работает в системе стабилизации частоты вращения. Составим уравнение равновесия напряжения:

(1.4)

и цепи якоря

(1.5)

а также уравнение равновесия моментов

(1.6)

Индексами «В» и «Я» отмечены параметры - индуктивность L, активное сопротивление R и переменные напряжения U, ток i возбуждения и якоря.

Электромагнитный момент двигателя М и ЭДС якоря имеют вид:

(1.7)

(1.8)

где d_E, d_M - постоянные коэффициенты;

M_H, J - момент нагрузки и момент инерции, приведенные к валу двигателя.

Уравнения цепи якоря и уравнения равновесия моментов (1.7) и (1.8) - нелинейные, так как в них входят произведения переменных величин i_Я, i_B и i_B.

Линеаризуем выражения для M и разложением их в ряд Тейлора с учетом лишь линейных составляющих ряда.

В результате получим соотношения для малых приращений:

??+?, (1.9)

?л=?Щ+?, (1.10)

Здесь и далее верхним индексом «0» обозначаются установившиеся значения переменных, относительно которых изменяются их приращения. После подстановки ?M и ?л в уравнение цепи якоря (1.5) и уравнение равновесия моментов (1.6) получим уравнение в малых приращениях (знак приращения ? отбросим).

 (1.11)

(1.12)

Найдем из выше написанного уравнения (1.7) ток .

Подставим его в уравнение (1.11) и после преобразования получим

где

, ,

, ,

, ,

, ;

Определим коэффициенты и .

В режиме короткого замыкания (Щ = 0) при и ,

= , ,

где - пусковой момент,

- ток короткого замыкания цепи якоря.

Тогда из уравнения цепи якоря получим

С другой стороны из уравнения

и

Получим следующее выражение уравнения для пускового момента

,

Подставив в уравнение (1.4) и сделав соответствующие преобразования, окончательно получим следующее:

(1.14)

где ;

; ;

;

; ;

;

;

Далее из обобщенного дифференциального уравнения двигателя постоянного тока (1.14) получим частотные уравнения для следующих случаев:

1) управление двигателем по цепи обмотки возбуждения, когда , где - напряжение сети;

2) то же, но при

3) управление двигателем по цепи якоря, когда ;

4) то же, но при ;

Рассмотрим эти случаи:

1) В этом случае приращение, ?, тогда и обобщенное

уравнение движения принимает вид:

(1.15)

2) Если , то , =0 И уравнение (1.15) упрощается и имеет вид:

, ,

, ;

Коэффициенты и определены в формуле (1.14)

Механические характеристики при этом имеют вид, показанный на рис. 1.4.

a) б)

Рис. 1.4

Из этого видно, что коэффициент наклона механических характеристик г=const при =var.

Дифференциальное уравнение движения и передаточная функция двигателя с независимым возбуждением, управляемого по цепи якоря относительно угла поворота вала л при =0 имеет вид:

Передаточные функции двигателя постоянного тока с независимым возбуждением выражены в уравнении

(1.16)

Коэффициенты уравнений (1.15) и (1.16) определены в формуле (1.14). Механические характеристики при этом имеют вид как показано на рисунке (1.3).

3) В этом случае приращение ? и обобщенное уравнение движения принимает вид

(1.17)

4) Если , то и уравнение (1.17) упрощается

(1.18),

а коэффициенты уравнений принимают следующий вид:

то цепи якоря, если пренебречь электромагнитными процессами цепи якоря, имеют вид:

;

5) Уравнение тахогенератора имеет вид

6) Уравнение редуктора

,

где - коэффициент передачи редуктора.

Полученные дифференциальные уравнения представляют собой математическую модель электропривода (следящей системы). В дальнейшем для проверки методик исследования нелинейных систем мы будем пользоваться этой моделью с учетом некоторых ограничений.

Например, можно пренебречь влиянием статического момента нагрузки и переходного процесса в цепи якоря, тогда структурная схема следящей системы может быть представлена в виде той, которая приведена на рис 1.5

Рис. 1.5

Согласно этой схеме дифференциальное уравнение линейной части системы, записанное относительно входной величины нелинейного звена релейного усилителя U₂, имеет следующий вид:

 (1.19)

Уравнение линейной части дополняется уравнениями нелинейных звеньев. Уравнения имеют вид:

U₂=F₁(U), U₃=F₂(U₂).

2. Исследование нелинейной следящей системы аналитическими

методами

Найдем область устойчивого состояния равновесия и область автоколебаний, и определим амплитуду и частоту автоколебаний для следящей системы, схема которой изображена на рис 1.2 при учете нелинейности типа насыщения в предварительном усилителе и отсутствии релейного усилителя и обратной связи по напряжению тахогенератора.

Исходные данные:

Т ₁=0,1 с - постоянная времени усилителя;

Т₂=1 с - электромеханическая постоянная времени двигателя;

К_л=20 с^-1 - общий коэффициент передачи линейной части системы;

К₁=50 В/рад - коэффициент передачи чувствительного элемента. Исследование проведем для к₂=1 и к₂=2;

Составляем структурную схему с учетом допущений рис. 1.6.

Рис. 1.6

Согласно этой схеме дифференциальное уравнение линейной части системы при V₁(t)=0 запишется в следующем виде:

(T₂p+1)pU₁=-k_ЛU₂ (1.20)

где k_Л=k₁k₃k₅

Дифференциальное уравнение нелинейного звена имеет вид:

(T₁p+1)U₂=k_yU₁ (1.21)

Коэффициент усиления усилителя k_y является нелинейной функцией, заданной графически (рис. 1.5).

Поэтому согласно методу гармонической линеаризации, запишем для него гармонически линеаризованное выражение

(1.22)

где коэффициенты гармонической линеаризации для характеристики с насыщением имеют значение:

(1.23)

Из уравнений (1.21) - (1.23) получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы

[(T₁p+1)(T₂p+1)p+k_Лq(a)]U₁= 0, (1.24)

которому соответствует характеристическое уравнение. Оно имеет вид:

T₁T₂p³+(T₁+T₂)p²+p+k_Лq(a)=0 (1.25)

Для отыскания условий существования периодического решения

(1.26)

из характеристического полинома после подстановки p=j выделим вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю:

(1.27)

Частота периодического решения находится из второго уравнения (1.27)

(1.28)

Из первого уравнения(1.27), с учетом (1.28), получим формулу, связывающую амплитуду периодического решения с параметрами системы

(1.29)

Для исследования устойчивости периодического решения найдем частные производные от выражений

(1.30)

Для устойчивости периодического решения (1.26) требуется, чтобы выполнялось следующее неравенство

(1.31)

или с учетом выражений

 (1.32)

то есть частная производная должна быть отрицательной.

Для определения знака этой производной по выражению (1.23) построим график q(A) рис 1.7 согласно которому

dq(A) dA

<0 при А>b (1.33)

Следовательно, амплитуда периодического решения (1.27) будет амплитудой автоколебаний лишь при выполнении следующего условия, когда А>b

При А<b автоколебания в системе отсутствуют, что и понятно, так как при этом, согласно рис. 1.5, нелинейная система превращается в линейную, которая является устойчивой.

Определим амплитуду автоколебаний. Уравнение (1.29), связывающее ее с параметрами системы, является трансцендентным. Поэтому для определения амплитуды воспользуемся графоаналитическим методом. Для этого решим уравнение (1.29) относительно следующего равенства k = k_Лk₂:

(1.34)

и построим график, в котором k = k(A) рис. 1.7,

Рис. 1.7

где A_v - является амплитудой колебаний относительно исполнительной оси системы (рис. 1.8).

Рис. 1.8

Что касается частоты автоколебаний Q, то она остается неизменной для любой переменной системы и, согласно выражению (1.28), не зависит от коэффициента k.

Граничный коэффициент передачи системы k,p определяется из выражения (1.34) при следующем равенстве А=b и равен

(1.35)

Автоколебания в системе возникают лишь тогда, когда k>k_ГР.

Нетрудно убедиться, что граничный коэффициент (1.33) совпадает с коэффициентом передачи, найденным из условия границы устойчивости линейной системы. Но, в отличие от линейной системы, у которой за областью устойчивости лежит область неустойчивости, в системе с нелинейностью типа насыщения за областью устойчивости лежит область автоколебаний, т.е. устойчивых периодических колебаний с вполне определенной амплитудой и частотой.

На рис. 1.3 также изображены графики, связывающие амплитуду и частоту автоколебаний с шириной b зоны линейности статической характеристики нелинейного звена при равенстве К₂=1

Для заданных значений параметров системы по графику рис. 1.9

Рис. 1.9

определяем частоту и амплитуду автоколебаний:

Рассмотрим случай, когда в системе не учитывается нелинейность электронного усилителя. Исследуем устойчивость состояния электромеханической следящей системы, структурная схема которой, изображена на рис. 1.10 частотным методом определения автоколебаний.

Рис. 1.10

Пусть заданы следующие параметры линейных звеньев:

K₁=57,3 В/рад - крутизна статической характеристики чувствительного элемента;

к₂^:=2,5 - коэффициент усиления линейного усилителя;

к₃=5,7 - коэффициент передачи двигателя;

k₄=10^-2 В с/рад - крутизна статической характеристики тахогенератора;

k₅=0,001 - коэффициент передачи редуктора;

Т j =0,05 с - постоянная времени линейного усилителя; и статическая характеристика нелинейного звена (уравнение релейного усилителя) 1.11, для которой b=0,25 В

V_3max=c=110B

Рис. 1.11

По заданной структурной схеме определим передаточную функцию линейной части системы W_Л(p) и гармонически линеаризованную передаточную функцию нелинейного звена W_H(a).

Для этого структурную схему нелинейной системы представим в виде последовательного соединения нелинейного звена и линейной части системы рис. 1.10.

Согласно рис. 1.10 мы получим следующее:

Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена, имеющего однозначную статическую характеристику, может быть записана в следующем виде:

W_H(a)=q(a) (1.37)

Где

По передаточной функции (1.36) определим частотную передаточную функцию:

(1.38)

ее модуль:

(1.39)

и фазу:

(1.40)

По формуле (1.39) и (1.40) строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы рис. 1.11 и годограф нелинейного звена.

(1.41)

при значениях амплитуд

В данном случае этот годограф совпадает с отрицательной вещественной полуосью и имеет две ветви.

Минимальное значение модуля функции - Z(a) равно следующему

Достигается при

Рис. 1.12

Как видно из рис. 1.12, годографы и -Z(a) не имеют общих точек пересечения.

Следовательно, состояние равновесия рассматриваемой системы устойчиво. Эту же систему рассмотрим, если статическая характеристика нелинейного звена имеет петлю гистерезиса рис. 1.12.

Согласно структурной схемы рис. 1.10 передаточная функция линейной части системы при исходных данных задачи равна: