. 4.Понятие о математическом моделировании. Виды моделирования.

Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей

основные тенденции в развитии математического (компьютерного) моделирования в последние годы связываются не столько с решением "микро" проблем, таких как представленное выше соотношение "модель-алгоритм-программа". Акценты моделирования все более смещаются к "макро-проблемам". Действительно, аппаратно-программные средства решения микро-проблем за последнее время практически перестали ограничивать возможности моделирования даже в самых крупных проектах. Во всем мире наряду с базовыми языками программирования для моделирования широко используются десятки специализированных языков и коммерчески доступных систем моделирования, а возможности сетевого общения открывают доступ к самым современным методологиям и идеям.

 В современной теории управления создаются и применяются математические модели двух основных типов (хотя в различных разделах теории эти типы и определяются по-разному).    Для технологических объектов это деление соответствует "феноменологическим" и "дедуктивным" моделям. Под феноменологическими моделями понимаются преимущественно эмпирически восстанавливаемые входо-выходные зависимости, как правило, с небольшим числом входов и выходов. Дедуктивное моделирование предполагает выяснение и описание основных физических закономерностей функционирования всех узлов исследуемого процесса и механизмов их взаимодействия. Дедуктивные модели намного богаче, они описывают процесс в целом, а не отдельные его режимы.       Первый тип моделей - аналитические модели (или, точнее говоря, модели данных). "Модели данных - это модели, которые не требуют, не используют и не отображают каких-либо гипотез о физических процессах (системах), в которых эти данные получены". Второй тип моделей - системные модели (или модели систем). Это математические модели, которые "строятся в основном на базе физических законов и гипотез о том, как система структурирована и, возможно, о том, как она функционирует".    В классическом понимании к моделям данных (аналитическим моделям) относятся все модели математической статистики. В последнее время характерные макро-изменения наблюдаются и для этих моделей. Связь с "внешним миром" проникает в эту сферу моделирования как экспертно-статистические методы и системы, что существенно расширяет методологическую базу для принятия решений в задачах анализа данных и управления.          Вплоть до недавнего времени математические модели использовались в практике управления только как источник входных данных для систем управления. Моделирование технических систем на этапе проектирования для оптимизации их структуры и параметров продолжает эту традицию.    Во многих других задачах принципиально применимы только системные модели   Во многих случаях модель может входить в систему управления в форме блока, вычисляющего выходы некоторого объекта по ее входам. Часто в этом случае речь идет о развитии так называемого имитационного моделирования - динамическом моделировании объекта [19]. Динамическое моделирование характерно для различных задач реального времени, прежде всего, для компьютерных тренажеров. Так, в процессе тренажерного обучения действия оператора интерпретируются как входы модели системы (технологической, транспортной и т.п.), а выходы модели преобразуются в аудио-визуальный образ реакций системы на действия оператора. Такое моделирование осуществляется в реальном времени, что позволяет использовать его результаты в различных технологиях реального времени (от обнаружения неисправностей до интерактивного тренинга операторов). Существует два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные. В первом случае все параметры модели считаются известными, и нам остается только исследовать её поведение. Например, определение частоты колебаний гармонического осциллятора при известном значении параметра k -- прямая задача математического моделирования.

Порой требуется решить обратную задачу: какие-то параметры модели неизвестны (например, не могут быть измерены явно), и требуется их найти, сопоставляя поведение реальной системы с её моделью. Ещё одна обратная задача: подобрать параметры модели таким образом, чтобы она удовлетворяла каким-то заданным условиям — такие задачи требуется решать при проектировании систем.

математическая модель выражает существенные черты-объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.

Путь математического моделирования в наше время гораздо более всеобъемлющ, нежели моделирования натурного. Огромный толчок развитию математического моделирования дало появление ЭВМ, хотя сам метод зародился одновременно с математикой тысячи лет назад.

Математическое моделирование как таковое отнюдь не всегда требует компьютерной поддержки. Каждый специалист, профессионально занимающийся математическим моделированием, делает все возможное для аналитического исследования модели. Аналитические решения (т.е. представленные формулами, выражающими результаты исследования через исходные данные) обычно удобнее и информативнее численных. Возможности аналитических методов решения сложных математических задач, однако, очень ограниченны и, как правило, эти методы гораздо сложнее численных.

Этапы и цели компьютерного математического моделирования

Здесь мы рассмотрим процесс компьютерного математического моделирования, включающий численный эксперимент с моделью (рис. 1).

Первый этап – определение целей моделирования. Основные из них таковы:

1) модель нужна для того, чтобы понять как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

К классификации математических моделей разные авторы подходят по-своему, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.) – это естественно, если к этому подходит специалист в какой-то одной науке. Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.) – это естественно для математика, занимающегося аппаратом математического моделирования.

. Математические модели – очень широкий класс знаковых моделей (основанных на формальных языках над конечными алфавитами), широко использующих те или иные математические методы. Например, можно рассмотреть математическую модель звезды. Эта модель будет представлять собой сложную систему уравнений, описывающих физические процессы, происходящие в недрах звезды. Математической моделью другого рода являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.