Описание метода
Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А приводится к “нормальной форме Фробениуса”, имеющей вид: .
Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид
т.е. коэффициенты при степенях характеристического полинома непосредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р.
Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Р осуществляется последовательно построкам, начиная с последней строки.
1. Приведем матрицу
к виду
Пусть Можно проверить,что такой вид имеет матрица , которая равна
где
Следующий шаг - приведение подобным преобразованием к .
Таким образом
И так далее:
2. Рассмотрим нерегулярный случай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к виду
и элемент .
Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль. В этой ситуации возможно два случая.
2.1 Предполагаем, что левее есть элемент Тогда домножая матрицу слева и справа на элементарную матрицу перестановок , получаем матрицу .
В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент , уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице .
2.2 Рассмотрим второй нерегулярный случай, когда в матрице элемент и все элементы левее, тоже нулевые. В этом случае характеристический определитель матрицы можно представить в виде
где и - единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы и имееют вид:
Обратим внимание на то, что матрица уже имеет нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель просто развертывается в виде многочлена с коэффициентами, равными элементам первой строки.
Сомножитель нужно преобразовывать. Для развертывания можно применять метод Данилевского, приводя матрицу подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса.
Указанный подход становится неудовлетворительным при вычислении собственных значений матриц, имеющих порядок m в несколько десятков (и тем более сотен). В частности, одним из недостатков является так же то, что точность вычисления корней многочлена высокой степени данным методом чрезвычайно чувствительна к погрешности (накапливающейся со скоростью геометрической прогрессии) в коэффициентах, и на этапе вычисления последних может быть в значительной степени потеряна информация о собственных значениях матрицы.
Тесты метода и ПО см. В Приложении Б.
- Поверхности вращения
- 4.4. Метод вращения вокруг проецирующей прямой?
- Прямой геликоид.
- 81. Как строится главный меридиан поверхности вращения по заданному определителю?
- 12. Метод вращения вокруг проецирующей прямой
- 3.3.1. Что называется поверхностью вращения? Каков ее определитель?
- 2 Гр. Поверхности, образованные вращением прямой.
- 1.1 Прямые методы решения
- 73. Как образуется пов-ть с плоскостью параллелизма? Из каких элем сост определитель коноида?
- 14. Поверхности вращения общего вида. Определитель поверхности. Построение главного меридиана. Поверхности вращении второго порядка.