Описание метода

Идея метода Данилевского состоит в том, что матрица А приводится к “нормальной форме Фробениуса”, имеющей вид: .

Характеристическое уравнение для матрицы Р имеет простой вид

т.е. коэффициенты при степенях характеристического полинома непосредственно выражаются через элементы первой строки матрицы Р.

Приведение матрицы А к нормальной форме Фробениуса Р осуществляется последовательно построкам, начиная с последней строки.

1. Приведем матрицу

к виду

Пусть Можно проверить,что такой вид имеет матрица , которая равна

где

Следующий шаг - приведение подобным преобразованием к .

Таким образом

И так далее:

2. Рассмотрим нерегулярный случай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к виду

и элемент .

Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль. В этой ситуации возможно два случая.

2.1 Предполагаем, что левее есть элемент Тогда домножая матрицу слева и справа на элементарную матрицу перестановок , получаем матрицу .

В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент , уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице .

2.2 Рассмотрим второй нерегулярный случай, когда в матрице элемент и все элементы левее, тоже нулевые. В этом случае характеристический определитель матрицы можно представить в виде

где и - единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы и имееют вид:

Обратим внимание на то, что матрица уже имеет нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель просто развертывается в виде многочлена с коэффициентами, равными элементам первой строки.

Сомножитель нужно преобразовывать. Для развертывания можно применять метод Данилевского, приводя матрицу подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса.

Указанный подход становится неудовлетворительным при вычислении собственных значений матриц, имеющих порядок m в несколько десятков (и тем более сотен). В частности, одним из недостатков является так же то, что точность вычисления корней многочлена высокой степени данным методом чрезвычайно чувствительна к погрешности (накапливающейся со скоростью геометрической прогрессии) в коэффициентах, и на этапе вычисления последних может быть в значительной степени потеряна информация о собственных значениях матрицы.

Тесты метода и ПО см. В Приложении Б.