Случайные процессы

Пример случайного процесса:

• блуждание молекулы водорода внутри кристаллической решетки

• количество студентов на лекции

Это примеры физических систем дискретного типа, которые изменяют свое состояние скачком, то есть мгновенно.

Пусть Х – физическая система со счетным числом состояний , , . В любой момент времени совокупность значений характеризует данное сечение в момент t, но не отражает зависимостей между сечениями.

Цепь Маркова

Случайный процесс Маркова (процесс без последействия ) характеризуется тем, что вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от последнего предшествующего состояния и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Таким образом, для вероятности марковского процесса имеем

.

Марковский случайный процесс со случайным временем называется цепью Маркова. Такая система описывается , то есть вероятность перехода из состояния х_i в момент t_n+1

Совокупность значений P_ij(n) образует переходную матрицу системы. Для переходной матрицы выполняется условие нормировки .

Цепь Маркова называется однородной, если матрица переходных вероятностей не зависит от значения n. В противном случае цепь Маркова является неоднородной.

Существует несколько типов состояний в цепи Маркова:

1. Периодическое состояние, которое посещается только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.

2. Возвратное состояние,которое посещается системой бесконечное число раз

3. Достижимое состояние: состояние i называется достижимым, если существует такое n, что P_ij(n) >0. В противном случае говорят, что j недостижимо i.

4. Сообщающиеся состояния: состояния i и j называются сообщающимися , если

????????????????

.

Случайное блуждание как цепь Маркова

Одномерное случайное блуждание- дискретный процесс, имеющий вид

,

где Y₀–начальное состояние, х_i - независимые случайные величины вида

,

тогда для такой системы можно записать матрицу переходных вероятностей

.

Теорема Донскера

Рассмотрим случайное одномерное блуждание, где среднее значение M[x_i]=0, а дисперсия D[x_i]=σ². Тогда случайная величина ,будет стремиться к нормальному распределению N(0,1) при N.

Связь с уравнением диффузии

Броуновское движение частицы представляет собой блуждание в 3х-мерном пространстве. Часто это движение описывается с помощью уравнения диффузии

,

где D- коэффициент диффузии, ρ-плотность частиц.

Покажем, что моделирование движения броуновской частицы может быть сведено к построению цепи Маркова с дискретным временем. Рассмотрим одномерный случай. Выберем расчетную область и наложим на нее сетку с шагом ∆x, тогда

Запишем конечно-разностную аппроксимацию

Запишем временную конечно-разностную схему

_,,

- вероятность остаться на месте

- вероятность шагнуть назад

- вероятность шагнуть вперед

Построим матрицу переходов (цепь Маркова)

Поток событий. Стационарный и нестационарный пуассоновский потоки.

Счетчик событий Х(t)- случайный процесс, принимающий целочисленные значения 0,1…(радиоактивный распад, спектральные переходы между энергетическими уровнями)

1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания событий на любой участок зависит только от длины этого участка и не зависит от его расположения на оси t.

2. Поток событий – поток без последствий. Если число событий не зависит от числа событий, попавших на другой участок оси t.

3. Поток называется ординарным, если вероятность попадания 2 или более событий на эл. участок ∆t пренебрежительно мало по сравнению с вероятностью попадания 1 события.

Если поток событий обладает всеми тремя свойствами, то называется стационарным пуассоновским потоком или простейшим потоком.

Введем понятие плотности потока событий λ – это среднее число событий, приходящихся в единицу времени, тогда количество событий приходящихся на единицу времени. Тогда, вероятность того, что на участке τпроиз. mсобытий.

λ τ< 1

Д = <(m - <m>)²> = λ τ

Вероятность того, что участок τ – пустой выр-се:

(2)

Важная пар-ка потока события закон распространения промежутков времени между соседними событиями t. Этот закон легко найти. Введем F(t) – функцию распространения вероятности наступления событий.

F(t) = 1 – P₀(t).

Дифференцируем это выражение, получаем плотность распространения.

(3) – экспоненциальный закон распространения моделирования стационарного пуассоновского потока.

Сводится к генерации случайных плотности событий t₁, t₂, t₃ … С учетом найденной нами плотности распространения промежутков, получаем следующие алгоритмы.

1. Устанавливаем точку начала отсчета событий t₀ = 0.

2. Генерируем случайное число Tс экспоненциальным распадом (3).

3. Вычисляем время наступления очередного события,t_k+1 = t_k+T.

4. Счетчик времени на величину Tи счетчик событий на 1.

Т.е. можно сгенерировать поток событий. Если поток событий не стационарен, то это означает, что его плотность изменяется со временем.

λ = λ (t).

Нестационарный поток: ,

m–число событий (индекс).

Нестационарный ординарный поток без последействия называется нестационарным пуассоновским потоком для числа событий на участке τ.

Вычислим интеграл:

Можно показать, что распределение числа событий

Распределение длин промежутков T так же зависит от времени

Метод броуновского моделирования для уравнения Смолуховского.

В пределе сильной связи броуновской частицы со средой равновесие устанавливается быстро, и тогда можно проинтегрировать по скоростям и перейти к уравнениям, описывающим функцию распределения по координатам и по времени. В этом случае в уравнении Ланжевена пренебрегаем инерциальным слагаемым, пропорциональным второй производной по времени, и получаем уравнение:

(1)

уравнение Ланжевена в пределе сильного трения, в котором – пренебрегаем, F_st – случайная сила

В общем виде уравнение Ланжевена:

Координатное уравнение Ланжевена описывает диффузию

безмассовой частицы в потенциале U(x).

Введем понятие координаты Л. Источника

Тогда для функции корреляции получаем:

–функция корреляции (Эйнштейна)

Тогда перепишем (1) в виде:

где - регулярная сила, действующая на частицу

Тогда для плотности

(3) – уравнение Смолуховского для плотности распределения

– оператор Смолуховского

Стационарным решением уравнения (3) является функция Больцмана

Отметим, что существует несколько общепринятых форм записи уравнений Смолуховского. Иногда удобно вместо использовать

(4)