logo search
ТПР-Лин

2.2. Алгебраическое решение

Рассмотрим логику алгебраического хода решения задачи, пролегающего через точки (0–А1–В1– ).

Поиск опорного решения

Т.к. решение в точке “0” недопустимо из-за отрицательности значений x6= –100, напрашивается замена переменной x1 на базовую переменную x6 или x2 на x6.

С точки зрения алгебраических операций, замена переменных не представляет трудностей и требует только внимательных действий субъекта:

уравнение x6=x1 +x2–100 перерешим относительно x1:

x1=x6 –x2+100.

Теперь свободными переменными стали x2 и x6 (см. точку B1).

При x2=x6=0 базовая переменная x1=100, и условие x10 выполняется.

В остальные уравнения подставим полученное значение x1:

x3=320– x2–100– x6– x2=220– x6;

x4=200–100– x6+ x2=100– x6+ x2;

x5=280– x2;

w=3820–500–5 x6+5 x2–4 x2=3320–5 x6+ x2 .

Опорное решение получено и равно:

x6= x2=0; x1=100; x3=220; x4=100; x5=280; w=3320.

Для минимизации w желательно значение x6 сделать не только равным нулю, но и по возможности увеличить, поскольку значение –5x6 вычитается из w=3820.

Вывод. Наличие отрицательных коэффициентов при свободных переменных в случае минимизации функции w указывает на неоптимальность данного решения.

Для анализа выпишем систему полученных уравнений:

x1= x6 – x2+100;

x3=220– x3;

x4=100– x3+ x2;

x5=280– x2;

w=3320– 5x3+ x2 .

Увеличение x6 ограничено переменными x3 и x4, которые (при x2=0) стремятся с ростом x6 к уменьшению:

- при x6=220 имеем x3=0;

- при x6=100 и x2 =0 имеем x4=0.

Следовательно, x4 ограничивает рост x6 раньше, чем x3 (см. рис. 2.1). Путем замены x4 на x6 при x2=0 критерий эффективности станет меньше на 500 усл. ед.: w(x2;x3)=3320–500=2820.

Переход из точки A1B1 очевиден и из рис. 2.1.

По аналогии проведем замену переменных x6 на x4:

x6= 100–x4 + x4;

x1=200– x4;

x3=120– x2+ x4;

x5=280– x2;

w=2820 + 5x4– 4x2 .

Далее по аналогии, чем больше x2, тем лучше решение. Однако x3 ограничивает рост x2 значением x2=120. При этом получаем от замены x2 на x3 выигрыш w= – 4120=480.

Проведем замену x2 на x3:

X2= 120 + x4 – x3;

X1=200– x4;

X5=160– x4+ x3;

x3=220– x3;

w=2380 + x4+4 x3=wmin..

Итак, решение достигнуто в точке x3= x4=0; x1=200; x2=180; x5=160; x6=220; w=2380.

Оно совпадает с результатами, полученными ранее в процессе применения других моделей.