logo search
Курс лекций по информатике

Системы счисления

В вычислительной технике используется двоичная система кодирования данных основанная на двоичной системе счисления.

Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего значения при изменении их расположения в числе, например, римская система счисления. В позиционной системе счисления значение каждой цифры зависит от ее расположения в числе. Количество различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется ее основанием и обозначается – P. Запись любого числа в системе счисления с основанием P будет представлять собой ряд:

аm-1Pm-1 + am-2Pm-2 +…+ a2P2 + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 a-2P-2 +…+ a-sP-s

где Р – основание системы счисления;

m, s – разряд числа, причем m – для целой части, s – для дробной;

а – число.

Например 1743 = 1*103 + 7*102 + 4*101 + 3*100

0.25 = 2*10-1 + 5*10-2

    1. Двоичная система счисления.

Основанием двоичной системы счисления является число 2. Любое число в этой системе счисления изображается с помощью цифр 0 и 1. В таком контексте эти знаки называются двоичными цифрами (binary digit – bit (бит)). Каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза.

Например.

11010(2)  1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0= 26(10)

    1. Восьмеричная система счисления.

Основанием восьмеричной системы счисления является число 8. Для представления чисел используется восемь различных цифр 0, 1, 2, …, 7.

Например.

17(8)  1*81 + 7*80 = 15(10)

    1. Шестнадцатеричная система счисления.

Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число 16. Для представления чисел используется десять цифр 0, 1, 2, …, 9 и буквы A, B, C, D, E, F соответственно равные 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Например.

СF(16)  С*161 + F*160 = 12*16 + 15*1 = 207(10)

    1. Перевод целых чисел.

Для того чтобы перевести число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную, необходимо выполнить последовательное деление этого десятичного числа на основание (P) той системы счисления, в которую это десятичное число переводится. Деление нужно выполнять до тех пор, пока не получится частное, меньшее этого основания. Число в новой системе счисления записывается в виде остатков деления, начиная с последнего. Последнее частное считается как остаток.