Построение математической модели

Если цель моделирования ясна, то возникает следующая задача – задача построения математической модели. На этом этапе исходные предположения переводятся на четкий однозначный язык количественных отношений и устраняются нечеткие, неоднозначные высказывания или определения, которые заменяются, быть может, и приближенными, но четкими, не допускающими различных толкований высказываниями.

Построение математической модели выполняется в следующей последовательности [161,163]:

1) выбор вида моделей и подмоделей;

2) проектирование структуры и состава моделей (подмоделей);

3) разработка отдельных подмоделей;

4) сборка модели в целом;

5) идентификация параметров моделей и подготовка исходных данных;

6) проверка достоверности модели системы.

На первом и втором подэтапах выполняется формализация описания системы: устанавливаются ее структура и существенные зависимости между элементами. Основная задача этих двух подэтапов – получение математического описания процессов в моделируемой системе и её структурной схемы, которая должна быть идентична структурной схеме промышленной системы.

При большой сложности системы первоначально производится разбиение процесса функционирования системы на отдельные достаточно автономные подпроцессы. Таким образом, модель функционально подразделяется на подмодели, каждая из которых в свою очередь может быть разбита на еще более мелкие элементы.

Для правильно построенной модели характерным является то, что она выявляет лишь те закономерности, которые нужны исследователю, и не рассматривает свойства системы, не существенные для данного исследования. Следует отметить, что оригинал и модель должны быть одновременно сходны по одним признакам и различны по другим, что позволяет выделить наиболее важные изучаемые свойства.

Разработка отдельных подмоделей состоит в составлении их математического описания: в установлении связей между параметрами процесса и выявлении их граничных и начальных условий, а также в формализации процесса в виде системы математических соотношений, характеризующих изучаемый объект (технологический процесс). При составлении математического описания используется либо теоретический, либо статистический подход (см. п.2.2.4).

При выполнении этого этапа особенно важно выбрать математическую модель минимально необходимой сложности. Если модель сложной системы образуется простым объединением полных моделей подсистем нижних уровней, то может возникнуть диспропорция между требуемой точностью и фактической сложностью модели. Эта диспропорция может быть устранена загрублением моделей низшего уровня (после детального автономного исследования их). Возможными вариантами такого загрубления являются:

• сведение детальных описаний многокомпонентного процесса к главной составляющей с поправочными коэффициентами;

• укрупнение состояний и фаз процессов;

• аппроксимация выявленных зависимостей;

• усреднение характеристик процессов по их аргументам;

• замораживание медленно меняющихся параметров;

• снижение требований к точности итераций;

• пренебрежение взаимной зависимостью переменных;

и др.

Для выведенных математических соотношений на следующем подэтапе выполняется идентификация их параметров. В настоящее время широко применяют различные способы оценки параметров: по методу наименьших квадратов, по методу максимального правдоподобия, байесовские, марковские оценки.

Подготовка исходных данных состоит в сборе и обработке результатов наблюдений за изучаемой системой. Обработка в типичном случае заключается в построении функций распределения соответствующих случайных величин или вычислении числовых характеристик распределений. Эти исходные данные, полученные в результате проведения исследования на реальной системе, будут использоваться в качестве параметров модели при реализации ее на ЭВМ.

Проверка достоверности модели системы является первой из проверок, выполняемых на этапе реализации модели. Так как модель представляет собой приближенное описание процесса функционирования реальной системы, то до тех пор, пока не доказана достоверность модели, нельзя утверждать, что с ее помощью будут получены результаты, совпадающие с теми, которые могли бы быть получены при проведении натурного эксперимента с реальной системой. Поэтому определение достоверности модели устанавливает степень доверия к результатам, полученным методом моделирования. Проверка модели на рассматриваемом подэтапе должна дать ответ на вопрос, насколько логическая схема модели системы и используемые математические соотношения отражают замысел модели, сформированный на первом этапе. При этом проверяются возможность решения поставленной задачи, точность отражения замысла в логической схеме, полнота логической схемы модели, правильность используемых математических соотношений.

Только после того, как разработчик убеждается путем соответствующей проверки в правильности всех этих положений, можно считать, что разработанная логическая схема модели системы пригодна для дальнейшей работы по реализации модели на ЭВМ.