2.1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием матричных преобразований
Для простоты решения ограничимся случаем системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Рассуждения на случай большего числа уравнений можно провести аналогичным образом. Пусть требуется найти решение система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:
(1)
Введем следующие обозначения:
(2)
где A – матрица коэффициентов;
В – вектор свободных членов;
х – вектор неизвестных.
В матричном обозначении систему уравнений (1) можно записать в виде:
A∙x = B. (3)
Из линейной алгебры известно, что система (3) имеет единственное решение при условии невырожденности матрицы, т.е. её детерминант должен быть отличным от нуля. Поэтому, какой бы вычислительный метод не применялся, решение системы линейных уравнений всегда нужно начинать с вычисления определителя (детерминанта) матрицы.
Если применить к уравнению (3) аппарат матричных преобразований можно получить «матричную» формулу для вычисления х:
1. Помножим уравнение (3) слева на матрицу, обратную к матрице А:
A–1Ax = A–1B. (4)
2. Воспользуемся свойством, что A-1∙A=E, где Е – единичная матрица. Тогда уравнение (4) примет вид:
Ex=A–1B. (5)
3. Воспользуемся свойством, что Е∙х = х. Тогда уравнение (5) примет вид:
X=A–1B (6)
где (6) – решение системы (3).
Пример 17. Требуется найти решение следующей системы линейных уравнений:
Решение. Решение СЛАУ матричным способом в системе MathCAD приведено на рис. 20.
Рис. 20. Решение СЛАУ в пакете MathCAD
- «Национальный исследовательский томский политехнический университет» т.Е. Мамонова
- Работа в MathCad и MatLab
- Оглавление
- 1. Лабораторная работа № 1 «Знакомство с математическим пакетом MathCad. Выполнение простейших вычислений» 7
- 1.1. Методические указания 8
- 1.2. Контрольные вопросы 19
- Требования по оформлению отчета на лабораторные работы
- 1.Лабораторная работа № 1 «Знакомство с математическим пакетомMathCad. Выполнение простейших вычислений»
- 1.1. Методические указания
- 1.1.1. Основные команды MathCad
- 1.1.2. Кнопки панели Math
- 1.1.3. Запись команд в рабочем документе системы MathCad
- 1.1.4. Используемы типы констант
- 1.1.5. Простые вычисления
- 1.1.6. Использование встроенных функций
- 1.1.7. Определение переменных и пользовательских функций
- 1.1.7.1. Локальные и глобальные переменные
- 1.1.7.2. Определение и использование пользовательских функций
- 1.1.7.3. Определение переменных, принимающих значения из заданного промежутка
- 1.1.8. Построение графиков в декартовой системе координат
- 1.2. Контрольные вопросы
- 1.3. Варианты заданий к лабораторной работе № 1
- 2.1.1. Создание векторов и матриц
- 2.1.2. Использование матриц специального вида для выполнения матричных операций в системе MathCad
- 2.1.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием матричных преобразований
- 2.2. Контрольные вопросы
- 2.3. Варианты заданий к лабораторной работе № 2
- 3.1.1. Спецификация функций
- 3.1.3. Программирование функций
- 3.1.3.1. Описание программы-функции
- 3.2. Контрольные вопросы
- 3.3. Варианты заданий к лабораторной работе № 3
- ПриложениеAШаблон титульного листа отчёта по лабораторной работе министерство образования и науки российской федерации
- Национальный исследовательский томский политехнический университет
- ПриложениеБ Шаблон титульного листа отчёта по индивидуальному заданию министерство образования и науки российской федерации
- Национальный исследовательский томский политехнический университет
- Отпечатано в Издательстве тпу в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета