3.4Алгоритм rsa

Несмотря на довольно большое число различных СОК, наиболее популярна - криптосистема RSA, разработанная в 1977 году и получившая название в честь ее создателей: Рона Ривеста, Ади Шамира и Леонарда Эйдельмана.

Они воспользовались тем фактом, что нахождение больших простых чисел в вычислительном отношении осуществляется легко, но разложение на множители произведения двух таких чисел практически невыполнимо. Доказано (теорема Рабина), что раскрытие шифра RSA эквивалентно такому разложению. Поэтому для любой длины ключа можно дать нижнюю оценку числа операций для раскрытия шифра, а с учетом производительности современных компьютеров оценить и необходимое на это время, т.е. оценить криптостойкость.

Возможность гарантированно оценить защищенность алгоритма RSA стала одной из причин популярности этой системы на фоне десятков других схем. Поэтому алгоритм RSA используется в банковских компьютерных сетях, особенно для работы с удаленными клиентами (обслуживание кредитных карточек).

В настоящее время алгоритм RSA используется во многих стандартах, среди которых SSL, S-HTTP, S-MIME, S/WAN, STT.

Рассмотрим математические результаты, положенные в основу этого алгоритма.

Теорема 1. (Малая теорема Ферма.)

Если р - простое число, то x^p-1 = 1 (mod p) (1)

для любого х, простого относительно р, и x^p = х (mod p) (2) для любого х.

Определение. Функцией Эйлера (n) называется число положительных целых, меньших n и простых относительно n.

Теорема 2. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа), то

(n)=(p-1)(q-1).

Теорема 3. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и х - простое относительно р и q, то

x^(n) = 1 (mod n).

Следствие. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и е простое относительно (n), то отображение Е_e,n: xx^e (mod n) является взаимно однозначным на Z_n.

Очевиден и тот факт, что если е - простое относительно (n), то существует целое d, такое, что ed = 1 (mod (n)) (3)

На этих математических фактах и основан популярный алгоритм RSA.

Итак, в реальных системах алгоритм RSA реализуется следующим образом: каждый пользователь выбирает два больших простых числа, и в соответствии с описанным выше алгоритмом выбирает два простых числа e и d. Как результат умножения первых двух чисел (p и q) устанавливается n.

{e,n} образует открытый ключ, а {d,n} - закрытый (хотя можно взять и наоборот).

Открытый ключ публикуется и доступен каждому, кто желает послать владельцу ключа сообщение, которое зашифровывается указанным алгоритмом. После шифрования, сообщение невозможно раскрыть с помощью открытого ключа. Владелец же закрытого ключа без труда может расшифровать принятое сообщение.